Естественные науки

Производная функции. Скорость изменения функции.

Добрый день! Скажите пожалуйста, если рассматривать производную как предел приращения ф-ции отражающую скорость изменения этой функции, то можно ли считать, что значение скорости ф-ции в точке Xn найденное путем подстановки значения аргумента в производную, будет соответствовать действительной скорости ф-ции, которая является значением приращения ф-ции при заданном шаге приращения аргумента? Приведу "грубый" пример для понимания вопроса! если произв. ф-ции Х^2 равна 2х, а заданное приращение аргументе (Х) =1 ед, то при аргументе = 10 производная ( как бы скорость ф-ции) равна 20,т. е логический смысл таков, что: в данной точке аргумента ( Хn) при изменение аргумента Х на 1 ед. происходит увеличение значения ф-ции на 20 ед. ( 20/1). Вопрос в том что, действительно ли в функции, в данной точке, скорость равна 20 ед.. ? (т. е. при приращение аргумента на 1 ед. , приращение ф-ции будет равно 20 ед.? ) . Естественно этот пример не рассматривается, он для наглядности вопроса, интересует вообще точность использования производной при определения скорости функции! Очень буду благодарен за внятный ответ. Заранее спасибо!!!
МК
Маргарита Кобцова
533
Воспользуемся вашим примером: f(x)=x^2; x0=10.
Рассмотрим последовательность средних скоростей на интервалах длиной dx=1, 0.1, 0.01, 0.001....
V1=[f(x+1)-f(x)]/1==[f(x+0.1)-(11^2-10^2)/1=(121-100)/1=21;
V2=f(x+0.1)-f(x)]/0.1=(10.1^2-100)/0.1=(102.01-100)/0.1=2.01/0.1=20.1;
V3=f(x+0.01)-f(x)]/0.01=(10.01^2-100)/0.1=(100.2001-100)/0.01=0.2001/0.01=20.01,
и так далее. Хорошо видно, что результат приближается к 20.
Разумеется, это - не доказательство; но это хорошая наглядная иллюстрация.
Процесс уменьшения изменений (dx=1, 0.1, 0.01...) в математике называется предельным переходом.
Так вот, по определению, производная есть предел средней скорости при dx->0.
Но, как видно, даже и при конечных dx средняя скорость не очень сильно отличается от производной.
Катя Махортова
Катя Махортова
42 571
Лучший ответ
"при аргументе = 10 производная ( как бы скорость ф-ции) равна 20,т. е логический смысл таков, что: в данной точке аргумента ( Хn) при изменение аргумента Х на 1 ед. происходит увеличение значения ф-ции на 20 ед. ( 20/1)."
Вот это и неверно. При любом конечном значении приращения увеличение будет отличаться от рассчитанного по производной, но чем меньше это значение приращения, тем ближе рассчитанное по производной значение будет к действительному.
Светлана ....
Светлана ....
71 742
Скорость это и есть производная - просто по определению. Поэтому говорить здесь о точности не приходится.
В вашем примере вы рассматриваете не скорость, а среднюю скорость. Она, разумеется, не соответствует производной, да и непонятно, в какой точке производную брать. Естественно, чем меньшие приращения вы возьмете, тем больше средняя скорость будет приближаться к просто скорости (т. е. к производной).
СМ
Софья Митрофанова
99 989
Добавляя к предыдущим ответам. Чтобы найти приращение функции на конечном промежутке нужно взять не скорость функции (производную) в точке и помножить на длину промежутка, а взять интеграл от производной на данном промежутке, т. е. фактически саму функцию.

Тут можно в качестве примера рассмотреть график производной. В Вашем случае график скорости - прямая y=2x. Приращение функции (в физической аналогии - пройденный путь) на интервале от 10 до 11 - это площадь трапеции под графиком скорости. Вы же предлагаете заменить ее на площадь прямоугольника.
Андрей Ярин
Андрей Ярин
41 616

Похожие вопросы