Что даёт вторая (3,4...)производная? Скорость изменения первой производной (это ж по идее тоже функция) ? А зачем ?)

вторая производная позволяет вычислять ускорение.

Если взять для примера движение материальной точки, то первая - скорость, вторая - ускорение, третья - скорость изменения ускорения (движение же не обязано быть равноускоренным) и т. д..
Если брать исследование произвольной функции, то первая дает нам экстремумы, вторая - вид функции (выгнутая/вогнутая), третья и дальше уже не слишком нужны.

Где-то я читал, что рассчитывая вывод космических кораблей на орбиту, третью производную таки используют. Вот тут читай: https://ru.wikipedia.org/wiki/Рывок_(кинематика)

скорость ускорения ускорения ускорения...

Производные высоких порядков (3 и выше) на практике смысла обычно не имеют.

Если очень коротко, то есть сложные нелинейные задачи, для которых аналитическое решение получить тяжело или невозможно вообще. Соответственно, приходится решать численно. И чем больше производных используется для численного решения, тем оно точнее.

Как-то на заре туманной юности (на втором курсе института, если склероз не изменяет) у меня была на эту тему лабораторная работа по физике. Есть механический эксперимент, в котором постоянно происходит переход от трения покоя к трению скольжения и обратно. Математическая модель этого эксперимента для простоты ограничена двумя производными. Соответственно, модель предсказывает синусоидальные колебания системы с некоторой частотой и амплитудой. На практике колебания есть, но не синусоидальные, а частота и амплитуда отличаются от полученных в модели на 40-60%. Чтобы модель лучше согласовывалась с экспериментом, нужно вводить в нее производные высших порядков...

в контексте вопроса лучше думать о производных, как о первообразных, тогда имеем 2 класса функций:
1. "конечный" класс ф-ий у которых первообразная = константа = эти ф-ии "возникли" из числа и мы видим их источник
2. "бесконечный" - у которых нет конечной первообразной = возникли из ф-ии и источника нет, как ни копай (есть только степень приближения)
=
но это сразу переводит в плоскость физики

Показывают на сколько гладкая функция.

...даёт дискретное развитие в смертном аду, но к счастью истина в едином процессе...