Дайте определение производной функции. Только обьясните что это такое чтобы рассказать учителю

Предел отношения изменения значения функции к изменению значения аргумента при стремлении изменения аргумента к нулю. Это если на школьном уровне.

Можно сказать, что производная - мера изменения функции с ростом аргумента.
Чем сильнее и резче меняется функция аргумента - тем больше её производная. Функция слабо растёт по мере роста аргумента - значит, производная положительная и маленькая. Функция резко пошла вверх - производная положительная и большая. Функция резко пошла вниз - производная большая, отрицательная. Функция слабо убывает - производная маленькая, отрицательная.
Потому что смысл производной: тангенс угла наклона касательной к линии функции в точке определения производной.

пойдём от определения: производная, это отношение изменения функции к изменению аргумента в некой точке. Или формально:
f`(x) = (f(x+dx) - f(x))/dx, dx ⟶ 0

Что нам даёт знание производной? - ну вот возьмём конкретный пример, и нарисуем график, в котором вверх отложим пройденное кем-то расстояние, а вправо - время. Теперь выберем любую точку на функции и посмотрим на производную, которая ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ покажет нам отношение изменения функции (расстояния) к изменению аргумента (времени)... тут сильно напрягаем мозг :)) отношение изменения расстояния к изменению времени S/t = v

Очевидно, что в данном случае знание производной нам дало понимание о скорости кого-то в каждый момент времени (ну или в какой-то конкретный, если мы знали производную только в одной точке). По координатным осям может быть отложено что угодно, но суть останется той же. Например вверх можно отложить заряд аккумулятора, а вправо время с момента последней зарядки, тогда получим q/t = I :) То есть имея такой график, мы сможем узнать какой ток потребляло устройство в любой момент времени, если посчитаем производную. По оси иксов тоже не обязательно время откладывать :) Можно по вертикали отложить затраченную работу, а по горизонтали пройденное расстояние, тогда производная указанной функции покажет какую силу приходилось прикладывать для движения в каждой точке (A/S = F). По вертикали рождаемость, по горизонтали среднюю зарплату, и производная нам покажет во сколько раз количество детей растёт быстрее количества рублей в зарплате, при любом уровне имеющейся зарплаты :))

Надеюсь суть понятна :)