Эквивалент определения непрерывности функции , но со *

Определение непрерывности функции, которое вы привели, связано с понятием предела функции и использует идею о "окрестностях" точек на числовой прямой. Давайте разберём его по частям.
Образ и прообраз — это термины, используемые в теории функций. Если у нас есть функция f(x), то:

1. Образ точки a под действием функции f(x) — это значение функции f(a). Например, если f(x) = x^2, то образом числа 2 является число 4, так как f(2) = 2^2 = 4.
2. Прообраз числа b относительно функции f(x) — это все такие числа a, что f(a) = b. Прообраз не всегда единственный. Например, в случае функции f(x) = x^2 прообразом числа 4 являются числа 2 и -2, так как f(2) = 2^2 = 4 и f(-2) = (-2)^2 = 4.

Сейчас мы рассмотрим определение непрерывности в терминах "окрестности".
Окрестность точки a — это некоторый интервал, который включает точку a. Например, окрестностью точки 2 может быть интервал (1.9, 2.1), который включает все числа между 1.9 и 2.1.
Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если для любой окрестности точки f(a) (это число на оси Y) найдется такая окрестность точки a (это интервал на оси X), что образ всех точек из этой окрестности точки a при отображении, осуществляемом функцией f(x), целиком лежит в указанной окрестности точки f(a).
Это значит, что если мы выберем любую маленькую окрестность вокруг значения функции f(a), мы сможем найти такую окрестность вокруг самой точки a, что все значения функции в этой окрестности будут попадать в выбранную нами окрестность вокруг f(a). Если это верно для всех возможных окрестностей вокруг f(a), тогда мы говорим, что функция непрерывна в точке a.
Это определение является эквивалентным более стандартному определению непрерывности, которое гласит: функция f(x) непрерывна в точке a, если предел функции f(x) при x стремящемся к a равен значению функции в этой точке, т.е. lim (x->a) f(x) = f(a).
Это означает, что значение функции в точке a (f(a)) совпадает с тем значением, к которому стремится функция, когда аргумент x приближается к a с любой стороны. Если эти два значения не совпадают или предела не существует, функция считается разрывной в точке a.
Если функция непрерывна на всем своем области определения, то ее называют непрерывной функцией. Функции, которые имеют только изолированные точки разрыва или не имеют их вовсе, часто встречаются в прикладных областях математики и естественных наук, так как они обычно проще для анализа и использования.

https://en.wikipedia.org/wiki/Continuous_function
Визуально непрерывность функции можно представить следующим образом: если вы рисуете график функции, то вы можете провести его "непрерывной" линией без отрыва от бумаги в точке a. То есть, если у вас есть функция f(x), она будет непрерывна в точке c, если предел функции f(x) при x, стремящемся к c, равен значению функции в этой точке f(c)​​.
Другими словами, интуитивно можно сказать, что функция непрерывна в точке c, если область значений функции f над окрестностью точки c сужается до одной точки f(c), по мере того как ширина окрестности вокруг c уменьшается до нуля. Более точно, функция f непрерывна в точке c ее области определения, если для любой окрестности N1(f(c)) существует такая окрестность N2(c) в области определения, что f(x) принадлежит N1(f(c)) всякий раз, когда x принадлежит N2(c)​​.
Эти определения и иллюстрации помогут вам понять, что означает "непрерывность" функции в математическом смысле. Все эти определения эквивалентны и описывают одно и то же свойство функции, но с разных точек зрения и с использованием разных математических понятий.

Ваше самое первое определение из текста - общетопологическое. Никакого R там не предполагается.
Предел по базе (он же предел вдоль фильтра) - тоже общетопологическое понятие.

Непрерывность функции слева/справа - фигня из основ матана, предполагающся, что функция задана на подмножестве R.

Всяки разны определения из основ матана/ТФДП тут в книженции переводятся на общетопологический язык.
То, что со звездочкой, именно об этом, как непрерывность слева/справа на общетопологический язык перевести.

Если вы не знаете, что такое образ и прообраз, то вы, наверное, книжку не по уровню взяли.
Что такое образ и прообраз, объясню позже (если никто другой не успеет). Но книжка пока что не для вас эта!!