Объясните, пожалуйста, на пальцах понятие равномерной непрерывности функции

С Евгением Федоровым не поспоришь, он фактически привел определение. )))

На пальцах так на пальцах. Попросту говоря, равномерно непрерывная на множестве Е функция - непрерывная на этом множестве функция без внезапных резких перепадов "за короткое время", то есть при малом изменении аргумента.

Графически. Представьте, что Вы по множеству Е, расположенному на оси Ох, везете отрезок. Если хотите линейку, чтобы не было тенденции к "расползанию" точек. Концы ее, х1, х2, расположены на произвольно малом расстоянии δ. (Если Вам трудно представить отрезок длины δ, возьмите δ= 2 мм:)) . Вот Вы этот отрезок везете, он Вас уже не волнует, лишь бы не выехал за множество Е, а Вы в это время смотрите на значения функции в концах этого отрезка по оси Oy и на расстояние между ними.

Что должно насторожить? В каких ситуациях равномерной непрерывности не будет?
1) Неограниченное увеличение этого расстояния, неограниченное расползание значений функции на концах отрезка.
1.1. Это бывает, во-первых, в случае наличия вертикальных асимптот в граничных точках множества Е (пример: y=1/x, E=(0,1)).
1.2. Во-вторых, если множество неограниченно, а производная - бесконечно большая на бесконечности. (Для дифф. функций) .
Пример: у=x^2, E=[-∞.0]. Но у'=2x →-∞ и функция действительно не является равномерно непрерывной.

2) Увеличение частоты колебаний при практически неизменной амплитуде.
Пример: у=sin (1/x ), Е= (0, +∞). Тянем наш отрезочек по оси Ох влево, к нулю, и начиная с некоторого момента увидим, что минимальное значение регулярно попадает в один конец, а максимальное - в другой, за счет чего разность значений функции будет периодически равна двум. А это не может быть меньше произвольного ε.

Схожий пример, только с проблемами на бесконечности - y=sin (x^2), E= R.

И в ситуации (1), и в ситуации (2) имеем наличие резких перепадов за короткое время у непрерывной функции, не свойственное поведению функции на остальной части множества Е. Непрерывность, но не равномерная. Неодинаковая, да.

Какие функции, наоборот, заведомо будут равномерно непрерывны?

1) Функции, непрерывные на отрезке. (Теорема Кантора. )
2) Непрерывные функции с ограниченной там, где она существует, производной. Следует из теоремы Лагранжа.
Замечу, что обратное неверно: из неограниченности производной не следует отсутствие равномерной непрерывности. Пример: y= √ x, Е=(0, +∞).
3) Непрерывные периодические функции - хоть где. ("График пилы":)) кстати, тоже) .

А вааще, это надо лектора слушать. Как он руками машет, рассказывает, показывает, по графику ползает.. . ))

С Новым Годом! Удачной сессии.

Ну, проанализируйте определения непрерывности и равномерной непрерывности -- не так уж сложно.

Возьми пилу и шинковку для нарезания моркови, репы и пр. по волнистой линии. Профили зубьев одной и режущей кромки другой - оба непрерывны (сравни с прерывистой линией, приведенной Доктором Who). Но первый представляет собой ломаную линию: если мысленно приложить к нему крохотный карандаш боковой стороной, то при переходе верхушки зазубрины придется карандаш резко повернуть на определенный, довольно большой угол; а во втором случае этого не произойдет. Тут и как раз равномерная или плавная непрерывность.
Отмечу в ответе Доктора одну неточность. Непрерывная функция - необязательно плавная, как ты, надеюсь, уже убедился на приведенных мной примерах. .

на пальцах - это когда мы берём разные х1 и х2, близко лежащие точки на оси х, то значения функции в этих точках тем меньше, чем меньше расстояние между х1 и х2.
строго, при стремлении х2-х1 к нулю, f(x2)-f(x1) тоже стремится к нулю для любых точек интервала, где функция непрерывна
ещё строже - см в учебнике, на языке эпсилон-дельта

Непрерывная функция — функция без «скачков» , то есть такая, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции.

Это означает, что функция не просто непрерывна, а она одинаково непрерывна на области определения.

Возьмем любые две одинаково близкие пары точек (a; b) и ( n; m) на произвольных участках области определения, то есть такие, что

|a - b| < δ; и | n - m| < δ.

Отсюда следует, что и значения функции в них одинаково близки, то есть

|f(a) - f(b)| < ε; и |f(n) - f(m)| < ε.

Самое короткое и простое:
Функция является на промежутке равномерно непрерывной, если она непрерывна и ее производная ограничена для всей совокупности точек на промежутке, в которых эта производная определена.
Если через эпсилон - дельта, то в общем случае дельта зависит не только от эпсилон, но и от точки на промежутке. А вот если можно выбрать дельта так, что условие непрерывности выполняется СРАЗУ для всех точек промежутка, то функция равномерно непрерывна.