Объясните, пожалуйста, на пальцах спиновое квантовое число

Вообще, объяснить на пальцах это понятие невозможно, поскольку в квантовой механике может и не быть аналогий. Спин- чисто квантовое свойство частиц, и объяснений не нужно - он просто есть и всё.
В первом ответе есть ошибка, потому что если спин представлять как момент количества движения, то как объяснить, что два электрона с одинаковым спином не могут находиться на одном энергетическом уровне. Если бы это был просто механический момент, то они бы прекрасно уживались там.
Лично для меня - спин - вектор, который перпендикулярен плоскости вращения волны. Например, для фотона - вращение волны перпендикулярно вектору её скорости, поэтому спин фотона направлен или по движению, или против движения, в зависимости от направления вращения волны.
У частиц с нецелым спином - направление спина не совпадает с направлением их движения, поэтому говорят о проекции спина на направление. ТО есть частица - это в какой-то мере волна со "сдвинутым" вращением.

С каких-то пор Вы снова в Учениках?

- квантовое число, определяющее величину спина квантовой системы (атома, иона, атомного ядра, молекулы) , т. е. еёсобств. (внутр. ) момента кол-ва движения (момента импульса) . Спиновый моментимпульса s квантуется: его квадрат определяется выражением, где s - С. к. ч. (называемое часто просто спином) . Проекция вектора sна произвольное направление z также квантуется: для частиц с ненулевоймассой (где ms - магнитное спиновое число) , т. е. принимает2s + 1 значений. Число s может принимать целые, нулевые или полуцелыезначения.