Как через определение производной найти производную у=х^(2/3) ? Шаги знаю, но не получается...

По формуле (x^n)' = n*x^(n-1), получим:
2/3*x^(2/3-1) = (2/3) * x^(-1/3) = 2 / 3*x^(1/3)

Всё получается.

⌂y = (y + ⌂y) - y = (x + ⌂x)^2/3 - x^2/3 = x^2/3(1 + ⌂x/x)^2/3 - x^2/3

Применяете биноминальное разложение для первой скобки:

(1 + ⌂x/x)^2/3 = 1 + (2/3)⌂x/x - 1/6 (⌂x/x)^2 + .(содержит степени ⌂x/x выше двойки)

Получается

⌂y = x^2/3(1 + (2/3)⌂x/x - 1/6 (⌂x/x)^2 + .) - x^2/3 = x^2/3 + (2/3)⌂x*x^(2/3-1) - 1/6(⌂x)^2*x(2/3-2) + .-x^2/3

или что то же самое

⌂y = (2/3)⌂x*x^(2/3-1) - 1/6(⌂x)^2*x(2/3-2) + .(содержит степени ⌂x выше двойки)

и находите, что

⌂y/⌂x = (2/3)x^(2/3-1) - 1/6(⌂x)*x(2/3-2) + .(содержит степени ⌂x выше единицы)

При стремлении ⌂x к нулю все слагаемые, кроме первого, стремятся к 0 при любом x.

Это и есть - по определению - производная:

у' = (2/3)x^(2/3-1)

Производная - это отношение изменения значения функции к изменению аргумента функции в некой точке. Или формально:
y` = dy/dx = (y(x+dx) - y(x)) / dx, где dx стремится к нулю

ну а в нашем случае y = ∛x², только нам корень мешает, потому мы его перенесём
y³ = x²
так как эти функции тождественны (то есть равны всегда), то и их производные равны всегда
((y+dy)³ - y³)/dy = ((x+dx)² - x²)/dx
(y³ + 3*y²*dy + 3*y*dy² + dy³ - y³)/dy = (x² + 2*x*dx + dx² - x²)/dx
3y² + 3y*dy + dy² = 2x + dx
3y² = 2x

Раз функции тождественны (равны в любой точке), то равна и площадь под этими функциями на любом интервале

3y² * dy = 2x * dx
dy/dx = 2x / 3y² = 2x / 3(∛x²)² = (2/3) * 1/∛x