Естественные науки

вопрос по производной и экспоненте

недавно спрашивал, но физический смысл все равно не дошел
вот смотрите:
экспонента это некая функция производная которой равна самой экспоненте, то есть она не дифферинцируется...
физический смысл производной это скорость (то есть скорость изменения функции у=f(x) при дельта х стремящимся к х нулевому... это понятно, НО
как может скорость изменения функции экспоненты быть равной самой экспоненте, ведь это означает, что она не изменяется со временем...
грубо говоря есть некий график олицетворяющий функцию, на нем две точки N нулевое и N (проекции на ось абсцисс X и Х нулевое соответственно), производная это насколько изменится проекция этой функции на оси ординат от У до У нулевого, в зависимости от изменения (дельты) Х
короче в голове у меня каша
и чего то я не пойму)
Ися
Ися
2 297
.

Экспонента появляется при решении многих физических и биологических задач.

Самая простая из этих задач, это задача о размножении животных в отсутствие хищников и в присутствии бесконечного количества еды. Чем больше количество животных, тем больше скорость их размножения.
Соответствующее дифференциальное уравнение выглядит так

dx/dt = Ax

его решение

x(t)=exp(At)

Разного рода цепные реакции и взрывы также описываются такими же дифференциальными уравнениями, которые приводят к решениям в виде экспоненты.

Поэтому физический смысл экспоненты очень простой.

.
P.S.
"экспонента это некая функция производная которой равна самой экспоненте, то есть она не дифферинцируется"
Наоборот, она дифференцируется. Причем, она может дифференцироваться в любой своей точке бесконечное число раз.
Функция не дифференцируется, это когда её производная не существует.

.
Ирина Саввина
Ирина Саввина
51 570
Лучший ответ
Ися беру калькулятор и пытаюсь дифферинцировать
e^x=e^(x)'
значение знаем 2,71 значит допустим в квадрате 2,71*2,71=7,3441...
а по формуле e^(x)' = x*e^n-1=2*2.71^1=5.42 но ведь она должна быть 7,3441,,,

наверно что то не то делаю?
d/dt exp(t)=exp(t), это верно, численно это так: если величина растёт как e^t, то её производная растёт точно так же.
Но в физических приложениях не забывайте о размерностях. Размерность координаты и размерность скорости разные, это по смыслу разные величины. Могут изменяться совершенно непохоже друг на друга, а могут и численно совпадать.
AB
Almaz Beisen
69 066
если производная существует - значит дифференцируется. Если она равна исходной функции - значит она существует и численно равнаисходной!!!

вообще-то в физике производная не может быть равна самой функции, у них разные размерности, может быть только пропорциональна с каким-то коэффициентом, имеющим размерность (хотя бы он и был равен 1, его величина уже зависит от того, в каких единицах вы меряете величины)

примеров таких - навалом. Например, толкнули лодку, она поплыла по инерции, тормозясь трением воды. Как известно, при небольших скоростях трение в жидкости пропорционально скорости, получаем уравнение F = k*v, где k - коэффициент трения. Учитывая, что F=ma=mv' получается v'=(k/m)v, ответ - v=C*exp( (k/m) t )

То есть, скорость падает по экспоненте. А коэффициент k/m может быть численно любым, он зависит от того, в каких единицах меряется масса, время и рассстояние

точно такое же уравнение вылезает для конденсатора, разряжающегося через сопротивление, для падения давления в атмосфере с высотой итд.
Инна Писарева
Инна Писарева
99 312
"как может скорость изменения функции экспоненты быть равной самой экспоненте, ведь это означает, что она не изменяется со временем..." - не означает, не изменяется только при производной, равной 0. Проведя аналогию со скоростью - это как если бы ускорение было бы равно мгновенной скорости, что, в принципе, вполне себе возможно и ничего особого в этом нет.
Короче, от каши в голове - простой пример.
Функция задана рядом: 10, 20, 40, 80, 160.
В точке 1 функция равна 10 и приращение к ней равно 10.
В точке 2 функция равна 20 и приращение к ней равно 20.
В точке 3 функция равна 40...
Простейшая экспонента - это геометрическая прогрессия.
Понял, не?
> экспонента это некая функция производная которой равна самой экспоненте, то есть она не дифферинцируется
Приплыли... Экспонента замечательно дифференцируется, и в результате получается такая же экспонента. Вот пример недифференцируемой функции: https://ru.wikipedia.org/wiki/Функция_Вейерштрасса

> как может скорость изменения функции экспоненты быть равной самой экспоненте, ведь это означает, что она не изменяется со временем
Экспонента изменяется со временем, и её скорость изменяется вместе с ней.
AS
Andrei Shlegel
3 622