Интегрирование и нахождение производной.

Производная - это предел отношения изменения функции вблизи заданной точки к изменению аргумента (или, говоря проще, на бесконечно малом отрезке вблизи заданной точки) . Не на единичном!
Интегрирование можно рассматривать и как нахождение площади, по Риману это и есть обратное к нахождению производной действие, а Лебег обобщил это на функции, у которых может и не быть производной, но площадь под графиком функции или ее аналог имеется.

Интеграл интегралу — рознь.

Начну с самой простой: определенный (число) и неопределенный (функционал) .

Подынтегральное выражение в аналитических интегралах может быть нужно для вычисления числа, но чаще — функции. Оно может описанием некоторого реального процесса, а вот описания могут отличаться. Не по сути, а по форме, конечно.

Вот как кто придумает, в какой форме надо записать подынтегральное выражение, чтобы его можно было взять аналитическими методами, так интеграл и получает в честь него его имя.

Определенный интеграл (число) можно взять с приемлемой точностью и численно-вычислительными методами, которые почти неприменимы к взятию неопределенного интеграла: получишь функцию такой длины, что ей для записи не хватит и пачки бумаги из 500 листов — кому такая нужна, как ее анализировать?

У производной есть тоже свои заморочки: она может составлять дифференциальные уравнения и системы таких. Составить-то просто, а поди ж ты реши — надо интегрировать. Или переходить в другое пространство по определенным правилам, что уравнение может и не позволить. Например, когда интегрирование требуется вести без параметра.

Но для начала так и считай, как написано выше или смотри тему «Исчисление бесконечно малых величин» одного очень-очень известного автора…

Производная - это скорость изменения функции. Если функция - это расстояние от времени, то производная - это скорость от времени. Ваше определение почти хорошее, только уточнение - "изменение функции за единичный отрезок, где в заданной точки провели касательную" - это дифференциал, и не за единичный, а за бесконечно малый :) А дифференциал поделённый на изменение x - это уже производная.
Вот например y(x)=x^2. Тогда дифференциал Δy=y(x+Δx)-y(x)=(x+Δx)^2-x^2=2xΔx+Δx^2; cкорость изменения Δy/Δx=2x+Δx; но если Δx настолько мал, что несравним с x, то это будет скорость изменения dy/dx - производная.
Теперь интегрирование: если функция - это скорость, то интеграл от начала функции до какого-то времени - это пройденный путь.
Примеры:
падающее свободно тело увеличивает скорость за 1 секунду на 9,8 м/c. То есть, ускорение g=9.8 м/с / с = 9.8 м/с^2.
Значит, скорость от времени v(t)=gt. Можно нарисовать на графике.
Тогда расстояние, пройденное через время T - [интеграл от 0 до Т] gt dt=[0 T]g*t^2 / 2 = [g*T^2 / 2 - g*0^2 / 2]= gT^2 / 2.
Можно посмотреть площадь, которую ограничивает функция v(t). Это будет треугольник - длина основания AB=T, высота H=gT; площадь S=AB*H/2=gT*T/2=gT^2 / 2. Ура!
Так вот, это работает всегда, даже с функциями, где такие простые формулы, как для треугольника, не помогут.