Какая разница между нахождением дифференциала и производной?

Когда функция нескольких переменных, то дифференциал содержит производные по всем переменным (несколько производных он содержит). Дифференциал - это выражение, показывающее как изменяется функция при изменении всех переменных. А производная - это как изменяется функция при изменении одной переменной.
.

df(x)=f'(x)dx

Т. е. разница только в множителе dx

Фактически, её нет. Дифференциал-это та же производная, только по какой-то переменной. Считается так же, имеет тот же смысл.

Производная берется от функции одной переменной, с этом связано понятие наклона касательной, и касательная в данной точке одна.
В многомерном пространстве у функции несколько аргументов.
Точка на сфере имеет бесконечное множество касательных - какие брать? что это даст?
Функция температуры в точке поверхности зависит от двух координат пространства, или трех, если учитывать высоту..
В этой ситуации производная может быть только частной производной, взятой в каком-то сечении, а уже из комплекса производных составляется выражение дифференциала (см. пример выше)

Дифференциал - произведение производной на приращение аргумента.
df(x)=f'(x)dx
Или геометрически. Если производная - тангенс угла наклона касательной, то произведение приращения аргумента dx на на тангенс (производную) даст величину противоположного катета - это и будет дифференциал - приращение ординаты касательной в данной точке.

сюда бы картинку, но мне лень.

Дифференциал — это бесконечно малое приращение (переменной или функции). Бесконечно малая константа, меньшая любого числа, могущего быть заданным (но большая нуля). Это понятие выходит за рамки теории множеств. Но одной группе товарисшчьей приспичело строить матанализ на теории множеств. Поэтому они специально называют тем же словом то, что дифференциалом не является, чтобы запутать учащихся. Причём, именно такой кастрированный вариант матанализа на основе теории множеств, в котором всё задом наперёд совсем наоборот, сейчас преподают нашим детям, фактически скрывая правду от них.