дифференциал и производная

Производная - отношение дифференциалов.

По определению, дифференциал - это часть приращения функции, линейная относительно приращения аргумента: dy = y` dx - (похоже на уравнение прямой линии - y = kx, поэтому называется линейной частью) , коэффициент y` - это производная.
Производная, по определению, - это предел отношения dy / dx при dx стремящемся к 0.

Можно чуть попроще.
Производная задаёт касательную в какой-то точке графика.
Дифференциал показывает, какое бы значение было у функции, если эту функцию заменить её касательной ("кривой" график поменять на прямую) .

К примеру, парабола: y = x^2 её производная y` = 2x.
Значение функции в единице: y(1) = 1^2 = 1.
Значение функции в 1,05: y(1,05) = 1,05^2 = 1,1025.
Приращение аргумента: 0,05
Приращение функции: 0,1025
А если бы мы посчитали дифференциал, то:
dx = 1,05 - 1 = 0,05
y` = 2x = 2 * 1 = 2
dy = y` dx = 2 * 0,05 = 0,1
Функция (если её считать прямой) изменилась бы на 0,1.
Дифференциал даёт приближённое приращение функции в какой-либо точке. А вычисляется он с помощью производной.

Это разные вещи.
Производная - это скорость роста функции
Дифференциал в точке при заданном значении дельта икс равен соответствующему линейному приращению игрек .

Или
dy = f ' (x0)*dx
dy - дифференциал y
f ' (x0) - значение производной в точке x0
dx - дифференциал (приращение) x

дифференциал отображения - это линейное отображение касательных пространств
производная отображения - это его изменение в данном направлении

Для вещественных функций (отображений R в R) это одно и то же, т. к. направление дифференцирования только одно

Диф-это приращение касательной, а произв. -приращение функции (кривой)