Что есть дифференциал? Чем он отличается от производной? Что означает y' = dv/dt ?

Да практически такая же фигня, показывает насколько сильно изменится одна величина при изменении другой. dv/dt означает отношение изменения переменной v к изменению переменной t при бесконечно малом изменении t. Если t - время, то это просто мгновенная скорость изменения v. Разница пожалуй в том, что производная берётся по какой-то переменной, но в большинстве случаев они не отличимы.

Дифференциал равен производной, умноженной на приращение независимой переменной:
dv=v'(t)dt
Он приближенно равен приращению функции.

Дифференциал dy - линейная часть приращения дельта y. Дельта у стремиться к dy при стремлении dx к нулю. dy = f'(x)*dx.

Дифференциал - это оператор, позволяющий из функции получить ее линейную часть обозначается буковкой «d», за которой следует то, от чего берётся дифференциал.
Запись y' = dv/dt (правильнее y' = dy/dt) означает, что производная равна отношению двух дифференциалов.

dt — это бесконечно малое приращение t. Если v зависит от t, то dv — это бесконечно малое приращение v при изменении t. Тогда dv/dt может оказаться конечным, и эту величину называют производной v по t. «Бесконечно малое» означает: «меньшее любого, могущего быть заданным». К сожалению, даже сравнительно новые учебники матанализа всё ещё строятся на теории множеств, на убогом языке которой определить бесконечно малые невозможно. Лишь в последнее время начинают появляться учебники с современной формулировкой матанализа на основе бесконечно малых. Пока я не видал что-то, что можно было бы рекомендовать. Есть только классическая книжка Зельдовича для начинающих физиков и техников.