Формула dq/dt выполняется не всегда абсолютно точно?

В физике многие вещи через производные считаются и никто не жалуется) Производная это предел отношения функции к аргументу. Значение производной отличается от "истинного" значения на бесконечно малую величину. А бесконечно малая величина - это попросту говоря математическая абстракция, которую употребляют вместо слова "ноль", дабы не было противоречий в определенных теоремах.

неверно.

при любой конечной дельте - значение приближенное. а вот предел - он точное значение.

можешь поиграться, посчитав производные численно, посмотри, как последовательность стремиться именно к пределу, а не к чему-то приближенно равному ему.

Идея Ньютона была в том, что нуль поделить на нуль все-таки можно. Ненулевое число делить на нуль бессмысленно - нет числа, которое при проверке деления умножением подойдет. 5/0=х При проверке должно получиться x*0=5, а такого числа нет. Но с делением на 0 такой проблемы нет. 0/0=х При проверке должно получиться x*0=0. Любое число - подойдет.
Так вот, Ньютон догадался, что сколько будет 0/0 в каждом конкретном случае, узнать можно, взяв все более мелкие значения делимого и делителя и смотря, к чему мы приближаемся при их делении. Такие значения делимого и делителя, которые ВМЕСТЕ уменьшаются до нулей (скажем, приращение пути и соответствующее приращение времени) он обозначил dy и dx (d - дельта, то есть разница близких значений) и назвал их бесконечно малыми значениями. Бесконечно малая, по Ньютону - величина, которая меньше любого наперед заданного числа (то есть как бы нуль) , в то же время сохраняющая свое отношение к другой такого же типа определенным (то есть как бы не "чистый" нуль) . То есть нуль, снабженный дополнительным свойством отношения к другому нулю :) Как сказано в энциклопедии, "чтобы понятие бесконечно малой имело точный смысл, необходимо указывать тот процесс изменения, при котором данная величина становится бесконечно малой".
Ну а дальше Ньютон посчитал отношения dy к dx для основных математических функций (dy/dx при этом получаются зависящие от х, ведь это скорости изменения функции в заданной точке) и назвал их производными. Например, для y=x² получается dy/dx равно 2х - в любой точке ее графика. Это именно значение скорости изменения y в точке х, взятое в тот момент, когда dx стал нулем.
Иначе говоря, Ньютон нашел, как находить отношение двух ставших нулями величин исходя из их свойств, когда они еще не были нулями.
P.S. Не могу сказать, что все это просто, но к этому привыкаешь - как когда-то привык к умножению и делению, хотя их простыми вещами тоже, наверное, не назовешь, особенно с дробными числами :) Да и без этого - я и сейчас с трудом понимаю, почему всегда 5*7=7*5, хотя доказать это выкладками могу, а использую вообще бездумно :)