допустим имеем функцию: y = f(x)
тогда её производная (полная) может обозначаться как dy/dx = d f(x)/dx = f'(x)
но можем ли мы работать с дифференциалами как с бесконечно малыми переменными? то есть переносить их, делить на них, умножать на них. (вычитать и прибавлять их?? -хотя это по сути не приводит ни к какому изменению значения исходного выражения)
то есть можем вывести отсюда равносильные дифференциальные уравнения:
dy/A=1/A*f'(x)*dx
Естественные науки
можно ли сказать, что производная это отношение дифференциалов
Николай Кривобок
330
давайте только все строго, без "бесконечно малых".
есть понятие производной (определение через предел).
есть определение дифференциала: df(x) = f'(x)*Δx
(это фактически функция двух независимых переменных, x и Δх, только запись кривая)
посчитаем дифференциал функции f(x)=x
dx = x'*Δx=1*Δx=Δx
посмотрим. чему равно отношение дифференциалов df/dx:
df/dx=f'*Δx/Δx=f' - что и ожидалось.
так что можно рассматривать df/dx как дробь, это та же производная. Часто такая запись удобнее, особенно, если берутся функции многих переменных.
есть понятие производной (определение через предел).
есть определение дифференциала: df(x) = f'(x)*Δx
(это фактически функция двух независимых переменных, x и Δх, только запись кривая)
посчитаем дифференциал функции f(x)=x
dx = x'*Δx=1*Δx=Δx
посмотрим. чему равно отношение дифференциалов df/dx:
df/dx=f'*Δx/Δx=f' - что и ожидалось.
так что можно рассматривать df/dx как дробь, это та же производная. Часто такая запись удобнее, особенно, если берутся функции многих переменных.
Можем. Именно этим и удобны обозначения для производной в виде отношения дифференциалов.
Действия делать такие можно - так и делают, когда решают диффуры с разделяющимися переменными, а вот dx назвать дифференциалом нельзя.
Николай Сергеев
84 304
Николай Кривобок
Ибрагимова курс - хороший или лучше Фехтенгольдца читать или Смирнова?
Хочется уяснить наконец следующее:
1. история и приход математики, мат. логики к пределам и бесконечно малым
2. История споров математиков и проблем касающихся этих бесконечно малых переменных
3. Современное понимание производных, дифференциалов (частных полных) и различие в понимании их у физиков прикладников и теоретических физиков и математиков ("чистых" математиков)
Хочется уяснить наконец следующее:
1. история и приход математики, мат. логики к пределам и бесконечно малым
2. История споров математиков и проблем касающихся этих бесконечно малых переменных
3. Современное понимание производных, дифференциалов (частных полных) и различие в понимании их у физиков прикладников и теоретических физиков и математиков ("чистых" математиков)
Дмитрий Шмидт
почему dx нельзя назвать дифференциалом??? f(x) =x - прекрасная полноценная функция.
по определению dx=x'*Δx=Δx
потому, кстати, и df/dx = f'Δx / Δx = f'
по определению dx=x'*Δx=Δx
потому, кстати, и df/dx = f'Δx / Δx = f'
...любая производная находится в форме дискретности, а дискретность - есть дифференциал! Что вы там ещё считаете, оооооооо, какие ответы пошли, дуальность в дискретной форме атакует свой двойственный дифференциал! Это моё ОТНОШЕНИЕ к вам, значит моё УВАЖЕНИЕ!
Наталья Харлова
40 961
Дмитрий Шмидт
ну куда же мы без деревенского сумасшедшего...
Про "линейную часть приращения" и "бесконечно малых" повторяться не буду, но добавлю еще кое-что: -)
Речь у Вас идет о "чистой" математике и обобщениях производной/дифференциалов на случай каких-то нескольких переменных, сложных пространств и тп.
Тогда идите сразу сюда, например:
https://ru.wikipedia.org/wiki/Производная_Фреше
Или вот так:
https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Радона_—_Никодима
Много их всяких, производных-то. Ну, например, обманем Ваше деление:
Производная - диагональная матрица 2x2, на диагонали единичка и 1/2.
Такая матрица какой-то вектор переведет сам в себя. Ну и что Вы получите, если поделите вектор сам на себя?
Не будет ни фига хорошего.
Речь у Вас идет о "чистой" математике и обобщениях производной/дифференциалов на случай каких-то нескольких переменных, сложных пространств и тп.
Тогда идите сразу сюда, например:
https://ru.wikipedia.org/wiki/Производная_Фреше
Или вот так:
https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Радона_—_Никодима
Много их всяких, производных-то. Ну, например, обманем Ваше деление:
Производная - диагональная матрица 2x2, на диагонали единичка и 1/2.
Такая матрица какой-то вектор переведет сам в себя. Ну и что Вы получите, если поделите вектор сам на себя?
Не будет ни фига хорошего.
Ерхан Бугетбай
25 105
Николай Кривобок
)))
ну так деление это производные явления от вычитания сложения, а корни вычисляли раньше вообще только единицы - умеешь вычислять квадратный корень - мудрец))) где - то читал это - по деревням такие знатоки ходили и были в большом почёте
ну так деление это производные явления от вычитания сложения, а корни вычисляли раньше вообще только единицы - умеешь вычислять квадратный корень - мудрец))) где - то читал это - по деревням такие знатоки ходили и были в большом почёте
Ерхан Бугетбай
Я прошу прощения, если запудрил Вам голову и заспамил.
Соображения простые:
1. Вас интересует некие обще-философские соображения в математике и разные обобщения привычных понятий.
2. Вопрос встал ребром - это настоящее деление дифференциалов или просто обозначение такое.
Я Вам только по этой причине и начал мозг выносить! Был бы вопрос попроще, я бы просто промолчал.
Соображения простые:
1. Вас интересует некие обще-философские соображения в математике и разные обобщения привычных понятий.
2. Вопрос встал ребром - это настоящее деление дифференциалов или просто обозначение такое.
Я Вам только по этой причине и начал мозг выносить! Был бы вопрос попроще, я бы просто промолчал.
Об этом в общем-то в учебниках написано даже.
"...производную f`(x) можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного".
"...производную f`(x) можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного".
Людмила Бондарева
15 057
Николай Кривобок
это да - но какие вы считаете учебники по математики полезны и не портят правильного представления и понимания понятий?
Некоторые рекомендуют Бурбаки кое что читать - как образец формального задания определения в математики?
Некоторые рекомендуют Бурбаки кое что читать - как образец формального задания определения в математики?
Похожие вопросы
- Как графически можно объяснить, что производная равная дельта (у) /дельта (х) = отношению дифференциалов dy/dx ?
- Дифференциал и производная : правильно ли я понимаю их физич. смысл ?
- дифференциал и производная
- Какая разница между нахождением дифференциала и производной?
- Что есть дифференциал? Чем он отличается от производной? Что означает y' = dv/dt ?
- Пытаюсь понять, что такое дифференциал в математике. Почти поняла, остался один вопрос (см внутри).
- Производная функции. Скорость изменения функции.
- смысл частных производных второго порядка
- производная от g(x) = f(x,f(x))
- Чисто математически можно доказать, что производная площади окружности равна длине окружности, но
Смирнова
Ибрагимова
Фехтенгольдца
или еще кого-то?