смысл частных производных второго порядка

Это своего рода скорость изменения скорости изменения. Запутанная штука.

при чем тут конус??? плохой пример, он недифференцируемый в вершине

представь график функции двух переменных. производная в некоторой точке по х показывает уклон, если сделать разрез по направлению Х, по У - соотвтественно по направлению У. А вместе они показывают, как будет наклонена плоскость, касающаяся поверхности графика в данной точке.

у производных смысл может быть разный в разных задачах.
***
если у вас перемещение тела является функцией времени и координаты, например, х.
то вторая частная производная перемещения по времени - это ускорение тела.
***
если задана поверхность в системе координат ( r, fi,z), где (r, fi) - полярная система координат, то одна из ее главных кривизн определяется как 2-я частная производная по r .

Уже и здесь в вашем примере, вы неправильно сформулировали смысл производной по радиусу. Зафиксировав высоту конуса, получим, что объем зависит только от радиуса. Взяв производную по радиусу, мы узнаем скорость изменения объема в зависимости от изменения радиуса. Этот вопрос показывает, что вы гуманитарий. Вы хотите, чтобы ваше пространственное воображение вам всегда показывало "картинку" модели. Но наш биологический мозг не всегда способен такую картину "построить". Основной принцип математики, поэтому, заключается в том, что математик не ломает голову над все новыми "мозаиками" а упрощает их, сводя более простым картинкам, то есть "схематизирует" картинки, поэтому говорят, что "математики ленивы". То есть, для математика, если задача сводится к уже известной и исследованной, то проблема решена. Хотя новая задача может казаться совсем новой и более сложной.. Есть даже анекдот о том, как поступает обычный человек- гуманитарий и математик, если они хотят вымыть руки, а кран умывальника уже открыт. Гуманитарий начнет сразу мыть руки. А математик пострается свести ситуацию к привычной. Он сначала кран закроет. Посмотрит, "как баран",на закрытый кран, и, поймет, что эта ситуация ему знакома. А именно, чтобы можно было мыть руки, кран нужно открыть. И так далее. Так и здесь. Пусть вы имеете функцию многих переменных, например из "n" переменных. Частные производные характеризуют скорость изменения функции вдоль одной из "n" координатных осей. Чтобы понять, как в каждом конкретном случае ведут себя вторые производные, нужно каждую из частных производных рассматривать как некую новую функцию "n" переменных и исследовать уже поведение этих новых функций. То есть, нужно взять их первые частные производные. И снова рассматривать частные производные как скорости изменения этих новых функций, при движении по отдельно взятой ( каждой) координатной оси. А теперь замечу, что вы напрасно успокоились относительно смысла первых частных производных. Эти производные берутся в плоском пространстве, то есть при условии, что так называемые "коэффициенты связности" пространства равны нулю. В римановых пространствах и первые частные производные имеют более глубокий смысл. Там они называются даже по другому, - не "первыми частными производными", а "ковариантными производными".

блин, такая красивая девушка и такая умная)
производные интересуют, это так... возбуждает в вас)