уравнения в частных производных второго порядка с одной независимой переменной.

"Уравнения в частных производных второго порядка с одной независимой переменной"?

Такого не бывает. Если уравнение - в частных производных, нужны хотя бы две независимые переменные.
А если независимая переменная одна - это обыкновенное дифференциальное уравнение.

"Как найти первую и вторую частную производную? "

Можно решить уравнение. Решение уравнения - это функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождественное равенство. Частную производную искать бессмысленно вообще, ибо для функции одной переменной нет такого понятия - "частная производная". Есть понятие "производная" (не частная!) .

Например, если дано уравнение y'' - 3y' + 2y = 0, то его решением будет функция y = Ae^x + Be^2x, где A и B - произвольные постоянные (обычно для их записи употребляются С1 и С2).
Это общее решение. Если в место А и В подставлять какие-нибудь произвольные числа, то будут получаться частные решения, например, e^x, -6e^2x, 7e^x - 4e^2x. Найти первую и вторую производную можно, например, у первого приведённого примера они будут e^x и e^x. Но что это даст? Скорее всего только лишь для того, чтобы проверить правильность решения.
У уравнения в частных производных всегда есть хотя бы две (могут быть и три, четыре и т. д. ) независимые переменные. Там решение ищется куда более сложным путём и в подавляющем большинстве случаев не может быть найдено аналитически, для этого используют приближённые численные методы решений (впрочем, как и для обыкновенных дифференциальных уравнений - с одной независимой переменной) . Решение представляет собой функцию соответствующего числа переменных и ищется в определённой ограниченной области (двумерной, трёхмерной и т. д.) . В этом случае частные производные могут быть найдены как приращение функции по данному аргументу, делённой на приращение этого аргумента (в идеале это - предел приращения, но из-за дискретности функции пределом пользоваться нельзя) . Такие частные производные могут иметь некоторый физический смысл, т. к. само дифференциальное уравнение в частных производных обычно составляется потому, что оно является математической моделью реального процесса. В противном случае оно может служить только для освоений методов расчёта (это же в значительной степени справедливо и для обыкновенных дифференциальных уравнений).