Производная в математике Объясните пожалуйста механический смысл производной, как ее вообще представить?

Механический - как СКОРОСТЬ изменения функции

И в механике - мгновенная скорость тела - это производная изменяющейся его координаты

Производная, как правильно написали, это изменение функции в некой точке (на бесконечно малом участке)

А с лимитом вообще всё просто. Если вместо неизвестной подставить значение, к которому она стремится, то получим неопределённость, но если подставить вместо неё значение очень-очень близкое (бесконечно близкое) к тому, к которому она стремится, то неопределённости уже не будет (в большинстве случаев)

представим, что у нас есть такое выражение lim(y(x)/z(x))
Подставим в функции вместо x значение (x + dx), где dx ->0
Как мы уже определились lim(y(x)/z(x)) = lim(y(x+dx)/z(x+dx)), если dx -> 0

тогда, если функции в точке x были равны нулю, то значения функций в точке (x + dx) будут равны dy и dz соответственно (то есть значения будут равны изменению этих функций на промежутке dx)

lim(y(x)/z(x)) = lim(dy/dz)

Но числитель и знаменатель всегда можно поделить на одно и то же число отличное от нуля, и значение дроби от этого не изменится. Тогда
lim(dy/dz) = lim((dy/dx)/(dz/dx))

Ну а тут Вы уже сами должны были узнать знакомое обозначение :) dy/dx = y`(x), а dz/dx = z`(x)
то есть в итоге получаем
lim(y(x)/z(x)) = lim(y`(x)/z`(x))....только не забываем, что это работает только в случае, если y(x) = 0 и z(x) = 0

Я честно говоря пытаюсь представить что такое механический смысл, не я конечно понимаю что имеется ввиду физический смысл... блин кто это придумал)) так же можно на каждый раздел физики смысл производной найти... какой-нибудь термодинамический или квантово-волновой...))

Едешь по трассе с любой скоростью 20, 80, 130 км/ч и чувствуеш себя комфортно - производная скорости (ускорение) равна нулю.
Врезаешся в столб, скорость резко падает до нуля, ее производная принимает большое отрицательное значение...
Ну дальше сам представишь.

1. скорость
2. правило лопиталя
f(x)=g(x)/h(x)
g(x)=g(a)+g'(a)*(x-a)+g''(a)*(x-a)^2 + .
h(x)=h(a)+h'(a)*(x-a)+h''(a)*(x-a)^2 + .
Если g(a)=0, h(a)=0 то получается f(a)=g'(a)/h'(a) если производные равны 0 то берешь дальнейшие производные