что нам дает нахождение производной ?спасибо

Да производные окружают нас со всех сторон.
Вы наверняка пользуетесь производными очень часто, не подозревая, что это производные. И с интегралами тоже.

В автомобиле есть прибор спидометр. Вот он меряет производную
dx/dt, путь по времени, скорость автомобиля называется. Сколько метров за секунду (километров за час) .

А когда в магазине покупаете лампочку на 50 Ватт, то имейте ввиду,
что "Ватт" это производная
dE/dt, энергия по времени, мощность называется. Сколько Джоулей за секунду эта лампа из сети берет.

А когда в магазине Вы увидите ценник 100 рублей/100 гр (или 2 руб/кг) ,
так это тоже производная стоимость товара по весу.

Если на обочине дороги Вы увидите знак "крутой спуск" ("крутой подъем") это тоже производная, на знаке цифирьки означают крутизну, то есть изменение высоты дороги по длине.

То есть всегда когда речь идет сколько одного "чего-нибудь" приходится на другое "что-либо", то это производная.
Так как можно "чего-нибудь" отложить по оси "игрек".
А "что-либо" по оси "икс".
И крутизна наклона линии - это и будет производная.
Причем вся линия может быть не прямой. Но для нахождения производной надо взять очень маленький ее кусочек на котором не видно ее кривизны и ее можно считать прямой.
________________________
А насчет интегралов.
На том же спидометре обычно есть цифирьки показывающие пройденный путь, называются одометр. Так вот пройденный путь это есть интеграл от скорости.

А когда горит вышеупомянутая лампочка 50 Вт, то интегрирует ее мощность электрический счетчик, показывая потребленную энергию, интеграл от мощности.

Производная функция определяет скорость изменения исходной. Найдя производную, можно выяснить, как себя "ведет" функция, где возрастает и где уменьшается, где у нее минимумы и максимумы.. . дальше читай учебник.

Скорость изменения функции.

Xtuj& Чего?