Производная и сама функция

Таких функций, оказывается, очень много.

Нужно исследовать возможные решения уравнения

F'(x) = F(x + y)

Назовем это свойством сдвига.

Два шага. Первый простой. Несложно показать, что такая функция разлагается в ряд Фурье (а не интеграл) . Отсюда получается почти все, потому что отдельные слагаемые сами являются решением исходного уравнения, т. е. обладают свойством сдвига. Значит все крутится около экспонент и достаточно рассмотреть отдельный случай F(x) = exp(a x), где а - некоторое комплексное число. Подставим в уравнение, получим

exp(a y) - a = 0 (*)

Т. е. для данного сдвига y функция, производная которой равно самой функции, но сдвинутой на y, это экспонента с коэффициентом, который является решением (*) или суммой таких экспонент с произвольными коэффициентами.

Приходим ко второму шагу: нужно описать нули f(z) = exp(z y) - z на комплексной плоскости. Тривиальный случай y = 0. Есть только один нуль, который в итоге дает экспоненту. А вот при ненулевых у нулей тут же оказывается бесконечно много. Они как-то расставлены по плоскости (в основном в части с положительными действительнми частями) с расстоянием между ними порядка \pi/y (тут надо было бы выразиться точнее, но я уже заколебался редактировать) . Это можно показать, рассматривая изменение фазы f(z) при обходе вокруг нуля при больших |z| y.

Резюмируя, получается, что функции, сдвигающиеся производной, представимы в виде

F_y(x) = \sum_a exp(a' x) [ h_a cos(a'' x) + g_a sin(a'' x)],

где суммирование идет по нулям функции f(z) = z - exp(z y), a' и a'' -- соответственно, действительная и мнимая части этих нулей (они идут сопряженными парами) , h_a и g_a - произвольные числа.

Ну, производная константы - тоже константа (ноль).

Изумительно красивый вопрос. Ответа не знаю. Точнее, например, такая векторная функция
e^(ax)*[ cos(bx), sin(bx)] - похожа. То есть существует постоянная матрица, умножение на которую этого вектора эквивалентно его дифференцированию. Но общий ответ мне неведом.

Скорее всего, нет. То есть, функция должна быть периодической (это обязательно) , симметричной, простой (неочевидно, но я доказать не могу) , вырожденой в смысле малого порядка. Из таких функций я знаю только синусоиду. Всякое усложнение её ведет к появлению дополнительных членов и производная уже будет суммой производных, а это уже точно не будет совмещаться с самой функцией. Но эти рассуждения делаю исходя из спектрального анализа. Если у математиков есть что-то эквивалентное синусу, буду удивлён - не знал!

а косинус и тангенс?

наверно есть