Тригонометрическое уравнение. помогите решить. найти sin2альфа, если известно, что tg^альфа-7tgальфа+1=0

Снова ошибка в условии
tg^[здесь что-то должно быть]альфа-7tgальфа+1=0

Элементарно в уме за полсекунды. Синус 2 альфа равен двум седьмым. У тебя все 500 задач такие? Так это на полчаса делов...

Дано: tg²α-7tgα+1=0; tgα=(7±√(49-4))/2=(7±3√5)/2
sin2α=2tgα/(1-tg²α)
sinα₁=(7+3√5)/(1-(7+3√5)²/4)=(7+3√5)/((4-49-42√5-45)/4)=(14+6√5)/(-45-21√5)=
=-(14+6√5)(15-7√5)/(3(225-245))=(210+90√5-98√5-210)/60=-2√5/15
sinα₂=(7-3√5)/(1-(7-3√5)²/4)=(7-3√5)/((4-49+42√5-45)/4)=(14-6√5)/(-45+21√5)=
=-(14-6√5)(15+7√5)/(3(225-245)=(210-90√5+98√5-210)/60=2√5/15

И всё-таки учись писать правильно. Символ "^" сам по себе не означает, квадрат, он означает, что нужно провести операцию возведения в степень. сама степень тоже должна быть задана выражением.
Например: 2^5 означает, что 2 нужно возвести в 5 степень, будет 32. Если записать такое выражение 2^-3, то вообще непонятно, что это за запись. А если нам нужно записать 2 в степени (минус 3), то нужно записать так: 2^(-3). Иногда сам показатель степени может быть сложным выражением, например 3 возвести в степень (х+3). Если записать 3^x+3, то получится что 3 нужно возвести в степень х, и к результату прибавить три. А чтобы было то, что мы хотели записать, нужно записать так: 3^(x+3).
Итак, ^ означает возведение в степень, но за символом ^ должен следовать аргумент, желательно в скобках, Но если аргумент - положительной целое число, то можно обойтись и без скобок.
Итак, частично исправляем твою запись? tg^2альфа-7tgальфа+1=0.
Теперь опять неопределенность, то ли тангенс от альфа в квадрате, то ли тангенс неизвестно чего в степени 2альфа. И далее, то ли 7 тангенсов от альфа, то ли 7 тангенсов от (альфа+1). Отсюда получаем еще одно правило: аргумент тригонометрических функций тоже желательно писать в скобках. Ну и попутно еще один момент. В школе нас научили при записи рукой в тетрадях не писать знак умножения, так вот об этом тоже лучше забыть, и писать знак умножения "*" в явном виде.
В итоге, правильная запись твоего примера будет такая: tg^2(альфа) -7*tg(альфа) +1=0.
Вот теперь всё ясно и можно решать.
tg^2(альфа) -7*tg(альфа) +1=0,
tg^2(альфа) +1=7*tg(альфа) ,
sec^2(альфа) =7*tg(альфа) ,
1/cos^2(альфа) =7*tg(альфа) ,
1=7*tg(альфа) *cos^2(альфа) ,
7*sin(альфа) *cos(альфа) =1,
sin(альфа) *cos(альфа) =1/7,
2*sin(альфа) *cos(альфа) =2/7,
sin(2*альфа) =2/7/