Помогите решить уравнение: x + е(в степени (-1/x) ) = 0 !!!

Рассмотрим два случая:
1. х > 0 Тогда очевидно уравнение корней не имеет
2. -1 < х < 0 Тогда НЕ МЕНЕЕ очевидно, что в этом случае е^(-1/x) будет больше 1 и уравнение опять же не имеет корней.
Если x < -1 Здесь надо рассмотреть св-ва корня из числа. Придете к выводу, что уравнение опять же не имеет корней.
Найдете ошибку - скажу спасибо.

Трансцендентное уравнение. Обычно решается графически или численно. Но данное уравнение имеет только одно решение: х = 0.

делаем замену -1/x=t, x=-1/t. новый вид уравнения

-1/t + e^t = 0; e^t=1/t

логарифмируем обе части

t = ln(1/t) = -ln t или

t + ln t = 0

для наглядности строим график f=t, f=ln t. очевидно, корень существует и единственен. лежит где-то между 0 и 1

x + exp(-1/x) =0
Силою мысли рисуем графики y = -x и y = exp(-1/x).
Делаем это для того, чтобы понять, а сколько тут решений (это точки пересечений) .
С первым понятно: прямая под углом 45 градусов к осям, проходит через ноль, идёт из левой верхней в правую нижнюю часть.
Второй график будет располагаться только в верхней полуплоскости. Значит нас интересуют только x<0. При x=0 рассмотрим позже.
Итак. При x -> (минус бесконечность) y -> 1. При x -> -0 y -> (плюс беск.) .
Значит пересечение точно есть. Проверим, одно или нет. Находим производную:
y'=(1/x^2) * exp(-1/x).
Легко заметить, что она в ноль не обращается. Значит сама функция монотонна на рассматриваемом участке. Следовательно, пересечение одно. Как его найти, понятия не имею. Что-то между -1 и -2.
Ну и стоит отдельно рассмотреть случай x=0.
Как уже говорилось, при x-> -0 экспоненциальная часть стремится к плюс бесконечности. А при стремлении икса к +0 получаем, что она стремится к нулю. Является "+0" решением или нет, думай сама - я не знаю.

Первый корень виден сразу, это x=0.
Для x>0 решений нет, т. к. оба слагаемых положительны.
А вот для x<0 имеем x=-z и z>0, тогда
Exp[1/z]=z, значит корень z>1, т. к. Exp[положит. числа] >1.
Отметим, что в точке z=1: Exp[1]>1,
а вот в точке z=2: Exp[1/2]<1.65<2 =>
решение лежит между 1 и 2.
Делением отрезка пополам получим z=1.76322.
Итак, ответ: x=0+, и x=-1.76322.

У данного уравнения два корня в действительной области.

Первый из корней, действительно, легко узреть - это 0+0.

Для "узрения" второго корня достаточно посмотреть на значение функции

в точках -1 и -2,
тогда

Поскольку рассматриваемая функция гладкая и без разрывов в области , то данная функция пересекает ось абцисс где-то между {-2; -1} далее, если требуется приближённое значение корня, то можно следовать методом деления отрезка по-полам и в итоге получить значение

Если требуется точное значение, то такая задача решается в курсе специальных функций с применением функции Ламберта, и точное значение есть
.

Итого имеем