Как тела искривляют пустое пространство? Ведь пустота означает отсутствие всего - размерностей, сжатия, расширения?

Пространство могут "искривить" глупые теории и только.

кривизну пустого пространства можно вполне объективно ихмерить. в "плоском" пространстве сумма углов треугольника - 180, в искривленном - может быть и не равной 180.

если луч от далекой галактики исривляется массой, находящейся между той галактикой и нами и приходит двумя путями - значит мы имеем две разные прямые, соединяющие две точки - галактику и наш глаз. Луч света по своей природе - всегда кратчайший (наибыстрейший) путь.

сравните плоскость и кривую поверхность типа шара или седла. чтобы отличить кривую поверхность от плоской не нужны лишние объекты. Достаточно проверить треугольник из кратчайших линий, например - натянутых по поверхности нитей.

Искривление пространства означает, что кратчайший путь между двумя точками не является прямой. Воочию можно пронаблюдать на примере гравитационного линзирования (свет, летящий в сильном гравитационном поле, заметно отклоняется)
Искривление пространства - это математический инструмент, позволяющий наиболее просто и удобно описать явление притяжения, для этого достаточно ввода тензора Риччи. Как происходит явление гравитации "в действительности" - доподлинно пока не установлено. Предполагается, что бозонами, которые называют "гравитоны", но такой квантовый подход затруднён тем, что свидетельства поглощения/нейтрализации гравитации материей не обнаружены.

Два классических наглядных примера из математики, как можно определить кривизну поверхности при помощи внутренней геометрии, не вылезая наружу:

Сумма углов треугольника != 180 градусов
Отношение длины окружности к диаметру не равно пи.

В физической интерпретации прямые - это световые лучи.

Геометрически искривление обычно представляют геометрию на сфере или седле, там размерностей мало, геометрическое воображение позволяет наглядно думать.

А вообще это может быть и искривление метрики, а не пространства, но и физики, и математики за такую интерпретацию по некоторым причинам побьют. Только вот из традиционной кривизны пространства можно дискретные топологические характеристики среды рассчитать, а там сплошной интерстеллар начинается. Связь топологии и дифференциальной геометрии физики не любят как-то трактовать, только очень смелые за это берутся.

Да вот я тоже не знаю, как пустое пространство может искривить, скажем, температуру?

Тела не искривляют пространство, с точки зрения науки (ОТО) масса тел это и есть само пространство, поэтому измерение тела это и есть измерение пространства и наоборот. Под словом пространство подразумевается четырехмерное пространство-время с псевдоримановой метрикой. Ложное мнение, что тело искривляет пространство бытует потому что телом обычно называют проявление негравитационных сил, например планета Земля (тело), электромагнитное тело Земли заканчивается на ее поверхности, но массивное тело Земли (тело в ОТО) намного больше, оно имеет примерную форму четырехмерной сферы с радиусом кривизны 1 светой год. Так что надо понимать, что именно подразумевается под словом тело.