Положим, что вокруг Луны по экватору (экваториальный радиус 1738,14 км) протянули нить, и к её длине прибавили 1 м,...

R = 1738 километров, пусть высота объекта = h

центральный угол b = arccos(R/(h+R))

дальность горизонта от верхушки объекта высотой h составит R*tan(b), длина по поверхности шара = R*b, по условию R*(tan(b)-b) = 0.5 метра, вспоминаем разложение тангенса в ряд = b + b^3/3 +остальным пренебрегаем, значит
b^3/3 = 0.5/R = 0.5/1738000
b = 0.00952 радиан

b = arccos(1/(h/R+1))
h = R*(1/cos(b) - 1) = 1738000*(1/cos(0.00952/pi*180)-1) = 78.76 м

0.1591549431 м

R1 = (2 Pi R0 + L)/(2 Pi)
R1 - R0 = L/(2 Pi)

Пусть радиус Луны R. Длина нити стала 2пR+1, Радиус окружности, соответствующий такой длине окружности, равен R+1/2п, значит, над поверхностью нить будет находиться на расстоянии 1/2п (м).

Геометр... Геометрия - наука абстрактная. С чётко определёнными правилами. Поэтому у геометра просто недостаточно знаний, чтобы выходить за рамки бытовых вещей. А вот физик просто из опыта знает, насколько это мистическая вещь - верёвка вокруг планеты. Поехали:

как правильно заметили геометры, R*(tan(b)-b) = 0.5 метра, b = 0.00952 радиан, h = 1738000*(1/cos(0.00952)-1) = 78.76 м (гугл и яндекс калькуляторы считают в радианах, зачем там в градусы переводить)

Длина поверхности Луны, где верёвка её не касается - R*2*b=33091 м (33 километра с хвостиком, разница в 1 метр уже не чувствуется). На Луну оно не опирается, натянуто в одной точке - как минимум вес этой части нити в натяжение нити перешёл.
F=mg=ρVg=ρLSg. Натяжение нити σ=F/S=ρLg. Относительное удлинение нити при таком натяжении ε=σ/E=ρLg/E. Так как натяжение из-за собственного веса, оно спадает вдоль нити до нуля, так что абсолютное удлинение нити ΔL=Lε/2=ρL²g/2E. Напряглись из-за величины L²? Правильно напряглись.

Резину брать не будем. Пусть это сталь. ρ=7700 кг/м³,
E=200000 МПа=200000000000 Па. Тоже не мало. Из-за этого числа обычно натяжением стальной нити пренебрегают. Но нитка длиной в 33 километра - это всё-таки объект, в быту не встречающийся.
Ну и g=1.6 м/с², Луна всё-таки.
Собираем: 33000^2*1.6*7700/(2*200000000000)=33 метра.

Итого, помимо удлинения в 1 метр, заложенного в условии, из-за собственного веса нитка удлинится ещё минимум на 33 метра. Что неизбежно скажется на высоте подъёма (и на длине, которая оторвётся от поверхности, и на усилии, которым эту длину придётся поднимать, и на дальнейшем удлинении из-за увеличения этого усилия... тяжело там). Так что увы, простая геометрическая модель не отвечает физике описанной картинки. Сплошь и рядом такое происходит, когда составители задач хотя получить какой-то парадоксальный ответ.