Почему у неона химическая формула Ne, а у кислорода O2? Какая роль количества атомов в соединении одного элемента?

Неон - инертный газ, с завершённой электронной структурой, и в силу инертности является одноатомным. Между двумя атомами кислорода существует сильная ковалентная связь, благодаря чему такие атомы объединяются в устойчивую молекулу кислорода, которая так и обозначается O2. Химическая формула вещества показывает, сколько атомов какого элемента существует в данной молекуле, которая, в свою очередь, является наименьшей единицей вещества, сохраняющей его основные свойства. Таким образом, роль количества элементов в соединении такова, что благодаря именно такому количеству молекула является устойчивым соединением с определённым набором химических свойств. При другом количестве элементов соединение обладает кардинально другими свойствами и, как правило, вообще перестаёт быть молекулой.
В частности, устойчивая молекула перекиси водорода H2O2 существует благодаря не только связям между атомами водорода и кислорода, но и благодаря связям между двумя атомами кислорода. Если эту связь разорвать, то вместо вещества перекиси водорода получится совершенно иной материальный объект. Поэтому сокращать формулу до HO нельзя. Между тем, соединение HO (а точнее, OH, не путать с заряженной частицей - ионом OH-) действительно существует, но образует не молекулу, а крайне неустойчивый радикал, образующийся, к примеру, в плазме газового разряда. И с молекулой H2O2, как с носителем вещества, не имеет ничего общего, кроме одних и тех же атомов, входящих в состав данного соединения.

Есть такая штука, валентность называется, способность создавать связи, связана со строением электронной оболочки, которая в свою очередь зависит от заряда ядра и энергии атома. В курсе химии этому много времени уделено.

Электроны "любят" быть парами. У атома неона они и так уже все парами - ни отнять, ни добавить. А вот у Н-О- один электрон без пары