Формула механической работы

Работа равна по сути затраченной/переданной энергии. В поле сил энергия, сообщаемая телу (или наоборот) равна как раз таки перемещению вдоль этой силы, умноженному на эту силу. Посмотри энергию заряда в электрическом поле, или потенциальную энергию в гравитационном. Отсюда связь с работой наглядна и очевидна.

из соображений размерности

Сила может совершать работу лишь в направлении движения. Если направления силы и движения не совпадают, то берётся проекция силы на направлении движения. А произведение проекции силы иперемещения (пути) называют скалярным произведением...

Как бы мы вообще хотели определить работу при движении тела под действием силы? Работа силы - это то, насколько сила изменяет энергию тела. Тогда что такое энергия тела? Стартовать можно со 2-го закона Ньютона:
m dv/dt = F
Можно рассмотреть движение на малом промежутке времени dt. Пусть координата изменилась на dx. По правилу производной от сложной функции:
m (dv/dx) (dx/dt) = F
Подставляем: dx/dt = v, умножаем равенство на dx:
m v dv = F dx
Если слева все внести под дифференциал:
d(m v^2 / 2) = F dx
Получается, сила, действуя на тело массой m, изменяет некую хрень, равную m v^2 / 2 на величину F dx.
Если возможно пресдтавить F как производную какой-то функции:
F = - dU/dx
То:
d(m v^2 / 2) = - (dU/dx) dx
или:
d(m v^2 / 2) = - dU
Все бахаем под один дифференциал:
d(m v^2/ 2 + U) = 0
И получаем закон сохранения некоторой величины:
m v^2 / 2 + U = Const
Тут появляется соблазн сказать, что m v^2 / 2 - это энергия, связанная с движением, а U - это некая величина, которая является просто способом описания силы, но способна переходить в энергию движения тела. То есть это потенциальная энегия. Тогда предыдущее:
d(m v^2 / 2) = F dx
означает, что энергия, связанная с движением, под действии силы F меняется за перемещение dx на величину F dx. Последнее мы называем работой силы F.
Если все составляющие силы не удается представить как производную некоторой функции, значит не получится ввести сохраняющуюся полную энергию в таком виде. Но мы все равном сохраняем определение кин. энергии и определение работы силы.
А вообще, конечно, исторически сперва был введен некий "закон сохранения работы", кторый стал скорее обобщением экспериментальных фактов, и подкреплялся некоторыми теоретическими выкладками. И определение работы пришло вроде как от туда.

а чем тебе квадрат больше нравится ?

Определения не доказывают. Но иногда их можно мотивировать.

Определение механической работы таково, чтоб оно хорошо дружило с законом сохранения энергии.