Тренирует ли память прогулки по городу?

Хорошая профилактика.
На самом деле новые нейронные связи формируются, когда мозг изучает что-то новое. Ему необязательно заучивать, на это меньше всего уходит энергии, а мозг и без того ленивая сволочь, если быть откровенной.
Так что лучше слегка корректируйте маршрут, изучайте новые места, дворы по пути, в идеале, чтобы вы сами без навигатора стаоались сопоставить новый маршрут со знакомыми местами (допустим повернув в какой-то другой двор стараться выйти на знакомую тропу, здание).
Тогда да, для памяти будет полезно.

Нет, не тренирует. Но это способствует снабжению мозга кислородом, поэтому помогает в ЛЮБОЙ его деятельности. В том числе и в запоминании. А собственно память тренируется - как и любой другой навык. Практикой и тренировкой.

Тренировать память можно самыми разнообразными способами. Тот, а котором пишете Вы, ничем не хуже любого другого.
Главное - делать такие тренировки постоянно и неукоснительно.

А вот я живу в селе старом,
Не дышу, как москвичи, угаром.
И сегодня до зари встану,
По широкому пройду полю.
Что-то с памятью моей стало,
Всё, что было не со мной, помню

Есть упражнение, мнемоническое правило (способ запоминания), связанный с "мысленной" прогулкой по знакомым местам: мысленно расставляются плакатики со словами или картинками.
Очевидно, без знакомых мест упражнение бессмысленно.

пока запоминаешь, копайся в земле, кустах, стенах. так будешь тренировать еще и ассоциативную память