Занятие математикой тренирует логическое мышление? И вообще тренирует понимание логики?

Математика в целом логическое мышление не тренирует и понимание логики не улучшает :)
Математика тренирует строгость мышления. Она отучает от необоснованных утверждений типа "ну я же вот вижу, что они параллельны, зачем это доказывать!"... а вот математика учит нас основываться не на интуиции, когда нам кажется, что что-то должно быть так, а не иначе, а на строгом выводе (теореме) из заявленных условий (аксиом).

В программировании некоторое время развивалась тенденция доказательного программирования, как я слышал (к сожалению лично уже не застал), когда работоспособность кода обосновывается не экспериментом типа "смотрите, работает же", а строгим доказательством того, что он не может работать неправильно. Как всегда всё хорошее убивается свободным рынком и погоней за сиюминутной эффективностью, когда безотказно работающему коду заказчик предпочитает приемлемый (с некоторым количеством дыр), но зато дешёвый :)

Потому сейчас в программировании даже логика не сильно то в цене, не говоря про математику в целом. Если хотите чисто для себя изучить и то и другое, чтобы писать более стабильный код и получать от этого удовольствие - тогда имеет смысл. Но платить за такую чистоту кода нынче никто толком не будет (в любом случае не соизмеримо с затратами на разработку), потому это своего рода мучение: знать как это должно быть сделано правильно, но из-за нехватки времени и ресурсов делать "как попало" :)) Я в таком режиме уже не один год работаю (точнее около семь-восемь) и страдаю... уже даже интерес к программированию от этого приугас, хотя в молодости я чуть бы не бредил программированием.

нет, не все разделы математики поддаются логическому анализу ) В университете мы изучали логику отдельно, самостоятельным предметом и она была ближе к философии . Неевклидовы пространства никакой логикой не понять (

Логика с математикой не имеет ничего общего.
Определенный склад ума нужен.

Вопрос риторический. Ещё Лобачевский говорил, - математикой затем надо заниматься, что она ум в порядок приводит.

математика и логика понятия не совместимые

Да, и там и там нужно включать логику и отключать остальной мозг.

тренирует...

нет

логическое мышление занятие математикой конечно тренирует
но понимание логики тренирует только изучение логики

Да.

Смотря как заниматься...

Развитие мышления (и логики в т. ч.) было-бы гораздо эффективней, если-бы изначально (с детства) использовать в математике не 10-разрядную систему, а по-более, например 100, а лучше 1024-разрядную.

p.s.: другой вопрос, что не каждый ребёнок это потянет. И как его обучение (и его жизнь) будет взаимодействовать с другими.