Отражение в цилиндрическом зеркале

Ну, я могу показать, как уравненьице составить по-простому совсем, а как уж оно там решается - численно или просто на бумажке, мне пока что по фигу.
Численно-то можно по-разному решить, но пока пойдём через задницу, вдруг это красиво получится.

Пусть (x, y) = P - точка.
Рассмотрим функцию u(x, y) = u(P) = r(P, A) - r(P, S), где r - расстояние.
Тогда линии уровня нашей u - гиперболы, A и S - их фокусы, и grad u в искомой точке отражения направлен по касательной к окружности (по известному оптическому св-ву гиперболы), т.е., если нашу окружность мы сделаем единичной с центров в нуле, то в точке касания получим
x*u_x + y*u_y = 0
Далее цифрами и буквами не тряс.

Известное свойство - это альфа = бета здесь:Можно с таким же успехом, кстати, пойти через эллипсы - минимизировать/максимизировать сумму расстояний от точки касания до A и S, получится задачка на условный экстремум.
Ну или так - заданы два фокуса эллипса, требуется найти большую полуось, при которой эллипс пересекается с единичной окружностью в нечетном числе точек, Это то же самое почти.

Нужен ещё центр окружности. Чистым построением задача сводится к построению треугольника по заданной стороне и биссектрисе, проходящей через заданную точку (центр окр) и не прилегающую к заданной стороне.

Эта задача была здесь несколько лет назад. Геом. построение мне не далось.
Аналитическое решение - может быть, попробую.

Угол падения равен углу отражения. Для определения угла провести касательную к окружности в точке падения луча. В общем там система из трёх уравнений получается уравнение прямой через две точки s и b, уравнение прямой через точки а и b и уравнение касательной через точку b. Координаты точки b неизвестные. Решаете систему из 3 уравнений и получаете координаты точки b. P.S. Таких точек может быть множество.

ВА будет не единственным лучём, отражённым от внутренней поверхности сферического зеркала, который пройдёт через А!
Кроме того, высказанное Вами суждение, относительно падающего и отражённого лучей, не является ИСТИНОЙ (применена неправильная парадигма, а также не учтены отражающие способности материала зеркала)!

Азъ есьмь благ и человеколюбец,... поелику остаюсь лишь червём смердящим... Я индуктор (или indignae - недостойный лат.) от рождения. Истинность моих ответов зависит лишь от правильности формулировок вопросов.