За какое преступление известный русский писатель Федор Михайлович Достоевский был приговорен к смертной казни?

Военный суд находит подсудимого Достоевского виновным в том, что он, получив в марте сего года из Москвы от дворянина Плещеева… копию с преступного письма литератора Белинского, — читал это письмо в собраниях: сначала у подсудимого Дурова, потом у подсудимого Петрашевского. А потому военный суд приговорил его за недонесение о распространении преступного о религии и правительстве письма литератора Белинского… лишить на основании Свода военных постановлений… чинов и всех прав состояния и подвергнуть смертной казни расстрелянием
Суд и суровый приговор к смертной казни (22 декабря 1849) на Семёновском плацу был обставлен как инсценировка казни. В последний момент осуждённым объявили о помиловании, назначив наказание в виде каторжных работ. Один из приговорённых к казни, Николай Григорьев, сошёл с ума. Ощущения, которые он мог испытывать перед казнью, Достоевский передал словами князя Мышкина в одном из монологов в романе «Идиот».

За какое преступление, Вам уже написали. Хочу лишь заметить, что к каторге был приговорен автор романа "Бедные люди" и повестей "Двойник" и "Белые ночи". Перечисленные Вами произведения были написаны Федором Михайловичем уже после заключения.

За политическое. Читай биографию, там все есть. Петраше́вцы — осуждённые при Николае I в 1849 участники собраний у М. В. Буташевича-Петрашевского. Будучи все в той или иной мере «вольнодумцами» , петрашевцы были неоднородны по своим взглядам. Немногие имели замыслы прямо революционного характера, некоторые занимались изучением и пропагандой социально-утопической мысли XIX века (современники часто называли петрашевцев «коммунистами») . Значительная часть осуждённых понесла наказание только за распространение письма Белинского к Гоголю или за недоносительство о собраниях. Кружок Петрашевского вошёл в историю в том числе и из-за участия в нём молодого Достоевского и из-за необычного, поразившего современников, обряда инсценировки приготовлений к публичной казни, которому подверглись осуждённые, не знавшие о том, что они помилованы.