Какова история этого герба ?

князья Робитовы (Робиташвили)

РОБИТИ: с малоросского – делать, совершать; разг. учинять, поступать (о поведении) , устраивать (создавать, организовывать) ;
Например: «робити лад» - наводить порядок; устанавливать порядок (среди людей)

Как известно, во времена византийского императора Романа Лакапина римляне вели захватнические войны на территориях, подчиненных багдадскому халифату, в том числе в Персидской Армении.
В 944 году, по воле императора, флот федератов-наемников совершил поход из Черного моря к Каспийскому по старому торговому речному пути. Вел их наместник-воевода (Ольг) Великого князя киевского Игоря Рюриковича. Три тысячи викингов и казаков поднялись по реке Риони, перетащили ладьи переволокой через перевал и спустились по реке Куре. В междуречье Куры и Аракса они захватили город Берда а (Портав) , расположенный на территории современного Азербайджана.
Но дворцовый переворот в Константинополе разрушил планы императора Лакапина – армия оказалась брошенной. Целый год федераты удерживали город. Им пришлось испытать много бед: эпидемия унесла жизни большинства наемников. Оставшиеся в живых воины, не дождавшись положенной платы и подкрепления из империи, покинули город.
Однако некоторая часть казаков осталась в междуречье Алазани и Куры среди родственного им народа кахов (скифов) , образовав поселения вольных кизиков (казаков) . Именно оттуда, из кизиков и пошел род сыновей Робити (Робит-а-швили) . Было это примерно в X веке в селе Верхнее Мачхаани. Там некогда казачий атаман получил титул князя (тавади) от кахетинского царя. Об этом косвенно свидетельствует отсутствие собственных дворян (азнауров) у князей Робиташвили.

О принадлежности к служилому казачьему сословью намекает и их фамильный герб – «Журавль шагающий» . Как известно, журавль – птица перелетная (кочевая) . А профессиональных военных наемников в шутку еще издревле называли «гуси-лебеди» .

история фамилии

Список княжеских родов Грузии

http://istorya-familii.ru/

Ну, в принципе, это и не герб как таковой; ) Один журавль их. А львов с короной позаимствовали.