в течении скольки дней после покупки нужно поставить на учет подержаный авто???

В течении одного месяца.

Собственники транспортных средств (либо лица, от имени собственников владеющие, пользующиеся или распоряжающиеся ТС) обязаны зарегистрировать ТС в течение срока действия регистрационного знака "ТРАНЗИТ" (максимально 20 суток) или в течение 5 суток после приобретения (если транзиты не выдавались) .
Застраховать авто лучше сразу. Можно оформить транзитную страховку на 20 дней для перегона авто к месту регистрации.
При постановке на учет транзитную страховку поменять на обычный полис ОСАГО.

ТО можно пройти в течение 30 дней со дня постановки на учет.

+ добавлю _
Там где идет война - получение номеров -прохождение ТО
После получения номеров - можете 30 дней или месяц -ездить без талона ТО

5 суток.

20 суток. Можно ездить смело при наличии полиса ОСАГО. После штраф за просроченый транзит 800руб. На учет можно ставить хоть через 10лет. Право собственности не теряеш а при постановки напишишь объяснительную (ремонтировал машину) и оплатиш штраф 100руб.

в течение 1 мес. , а если транзит уже просрочен, то ничего страшного, там штраф вроде 100 руб.
но в ваших же интересах сделать это быстрее, т. к. с транзитами авто хорошая приманка для угонщиков

Независимо от того, есть ли пробег в а/м, при покупке транспортного средства его необходимо зарегистрировать в ГИБДД в течении 5 рабочих дней со дня покупки.