Как уговорить родителей разрешить мне ездить на мопеде в 15 лет.

Никак. Купи мопед и езди втихаря. Прставь к друзьям в гараж например

надо сделать что то такое, чтобы они тебя начали ненавидеть и старались избавиться!

Сначала купи себе Гроб, Памятник и место на кладбище! Потом сдай на права! Приносишь домой всё : Гроб, Памятник, документы на место на кладбище и водительское удостоверение. И говоришь :- Мама, Папа у меня всё есть кроме мопеда! Обещаю быть аккуратным и внимательным водителем. Вот тогда возможно тебе разрешат.

Их волнение я могу понять, т. к. на мототранспорте гораздо легче погибнуть, чем сидя в автомобиле и даже если шлем защитит от травм головы, то остальным частям тела легче не станет. В такой ситуации уговорить родителей будет крайне тяжело.

Чтобы получить хоть какие-то шансы на успех, тебе нужно показать родителям, что ты ответственный человек, который осознаёт всю опасность. Вам, я думаю, стоит показать как вы катаетесь на мопеде (можно в сельской местности, в поле, можно и в городе). Главное во время демонстрации не показывать никаких трюков. Если у вас есть отец, то его будет легче уговорить.

вообщем так:
1) неделю ведите себя примерно, главное показать, что вы осторожный и ответственный человек
2) расскажи родителям о некоторых тонкостях езды, и о том, что ты подробно изучил технику безопасности
3) покажи им как ты катаешься и можно первые несколько дней кататься под их присмотром (так родителям будет легче)
например ты катаешься, а отец смотрит и убеждается, что боятся нечего, также отец может указать на ошибки и рассказать несколько своих забавных историй
вождение должно быть спокойным, аккуратным и уверенным

а потом когда их волнения утихнут, катайся сколько влезет и куда хочешь

отца будет уговорить проще, чем маму или бабушку

это чисто моё мнение

Конечно у меня бредовое решение, но на крайний случай пойдёт. Если у отца есть автомобиль, то можно предложить ему, чтобы на первых парах ты ездил в его сопровождении (например, когда он свободен, то есть-в выходные) . Таким образом он будет не только следить за безопасностью твоего передвижения, но сможет указать на какие-лиьо ошибки в вождении.