Как в деловом письме употребляются слова Уважаемый и С уважением?

Вы абсолютно правы: употреблять дважды это выражение в одном письме - это признак низкой культуры.
Завершающее "С уважением" используется в том случае, когда обращение к респонденту простое: "Господин такой-то" или "Иван Иванович"

Нужно писать, это дипломатия а не общение с подружкой...

Деловые псьма предусматривают такие варианты как написание в начале обращения "Уважаемый", при этом в конце письма можно указывать "С уважеием", а можно и нет. Употребление "С увжением" зависит от содержания письма, если это письмо-просьба. Оба варианта будут правильные. Реквизиты письмо равно как и остальных документов регламентирует ГОСТ Р 6.30-2003.

Нужно и то, и другое..

Уважаемый в начале и и с уважением в конце - это масло масленное. Русский язык богат и могуч, даже если речь идет о деловом общении. На самом деле все просто: если в начале мы пишем господин, товарищ, директор, начальник, то в конце перед подписью уместно добавить "с уважением". Если же мы в начале письма уже написали "Уважаемый", то в конце лучше будет смотреться другая уважительная фраза, их множество. У нас в организации это место остается пустым. А шеф, когда визирует письмо, сам от руки вписывает теплое слово и ставит подпись. Если он хорошо знаком с адресатом, он пишет "искренне", "с дружеском приветом". Если не знаком - тогда добавляет слова посуше, например, "благодарю за сотрудничество", "спасибо", "заранее признателен" и тп