Я хочу работать программистом в банке! Именно в банке. Что стоит изучить? Какие языки и технологии?

В банках как таковых программистов обычно нет.
Там обычно есть Ит-отдел, который занимается разработкой и поддержкой программного обеспечения.
В банках используются информационные системы с огромными базами данных.
Обычно это готовые решения от производителей ПО. В банках используются ERP системы различного типа, которые отвечают за конкретный бизнес процесс. ERP системы различается по производителю:
Microsoft: Axapta, Navision, CRM и т. д.
SAP в различных конфигурациях
ERP системы от Oracle.

В крупных банках есть свои разработки ERP систем. Их заказывают определенным компаниям, которые специализируются на разработке банковского ПО. Из технологий, поскольку это очень большие объемы данных обычно используются ASP .NET в связке с SQL Server, J2EE в связке с Oracle.
PHP и MySQL - это скорее для web-проектов, хотя на этих технологиях разрабатываются высоконагруженные системы. Но в банках они скорее не используются.

В основном работа в банке - это поддержка серверов, руководство процессами внедрения ПО и его поддержка, настройка необходимых конфигураций готовых ERP-систем и поддержка пользователей системы.

Думаю что: php и MySQL обязательны + основы Java Script.

Изучить Уголовный кодекс, ибо с людьми работать, а не с деньгами. Именно в банке. Там нет места идеализму, а есть приказ, такой мягкий, что не выполнить его невозможно. Технологии лучше не знать, своя шкура дороже. Языков тоже, вмиг обрежут. Там всё уже запрограммировано, всё схвачено. Известно, кого сдавать и за какую цену. И вообще деньги следует хранить в банке стеклянной. Хотеть не вредно, вреден неумный выбор.

Фронт - react/router/angular
Бэк - java/spring
Базы - почти гарантированно oracle

производителю:
Microsoft: Axapta, Navision, CRM и т. д Эту строчку я не понял. Вы что CRM отнесли к поставщикам ERP ???Это как яблоки поставляют груши