Центр занятости и больничный

Никак не оплачивается. Вы же не работаете. Больничный оплачивается из средств работодателя. А вы не работаете. Кому его вы приносить собрались?

пособие по безработице продолжат платить после того, как вы предоставите больничный лист подтверждающий, что пропустили посещение ЦЗ по уважительной причине.
отказываться от направлений на работу вы, конечно, можете, но после двух отказов выплата пособия по безработице будет приостановлена. а если продолжите отказываться, то вас просто с учета снимут.
если вакансия вас не устраивает, то надо постараться сделать так, чтобы вам отказал работодатель.

Никак не оплачивается, лучше позвонить и предупредить, что у вас больничный лист, принесете оформят его и перерасчитают, так как просто за неявку приостановление выплаты до 3 месяцев. Вы можете попросить найти вам другое направление, но если других вариантов нет то не брать направление на работу не можете- это ваш первый немотивированный отказ, в законе о занятости населения в РФ нет категорий далеко и график не подходит. Берете направление, расписывайтесь идете к работодателю, как правило многие сами спрашивают вы за отметкой или реально хотите работать и если сказать за отметкой, ставят отказ от вас, но есть принципиальные, смотрите не нарвитесь, которые напишут, что вы сами отказались. Если такого не произошло делаете так чтоб вас не взяли и написали отказ от вас, тогда вы и стоять на учете продолжите и пособие получать

Работа до 22:00, а не до 10.
Конечно не бери. Так и скажи, что попасть на работу физически не возможно.