Какие проблемы прохождения на границе с Абхазией могут возникнуть?

Никаких. Там просто заносят данные паспорта в комп и даже не досамтривают. Это с Российской стороны. Абхазы даже этого не делают.

туда - никаких и загран не нужен
обратно - досмотрят как положено скорее всего

Для российских граждан действует безвизовый режим, другими словами, оформлять визу в Абхазию не требуется, мы просто проходим общий таможенный и паспортный контроль на российско-абхазской границе.

Для граждан РФ при себе необходимо иметь внутренний общегражданский паспорт или заграничный паспорт. Временное удостоверение личности не принимается. Не забудьте, что общероссийский паспорт подлежит обмену в 20 и в 45 лет, по старому, уже недействительному, документу вас не пустят. У загранпаспорта тоже есть срок действия, так что если вы забыли, когда его получали, лучше проверить его действительность заранее.

Вывоз ребёнка в Абхазию должен быть оформлен определенными документами.
У детей до 14 лет должно быть свидетельство о рождении с вкладышем или штампом о гражданстве (эту отметку делают в паспортном столе) .
Для детей в возрасте от 14 до 18 лет необходимо иметь паспорт и свидетельство о рождении. Если ребёнку не исполнилось 18 лет, и он едет без сопровождения родителей, потребуют нотариально заверенное согласие родителей на выезд ребёнка из РФ.
Если дети до 18 лет выезжают хотя бы с одним из родителей, то согласие от второго родителя не нужно. В ситуации с детьми может быть много частных случаев, если вам требуется дополнительная информация или какие-либо уточнения, обращайтесь напрямую в соответствующие инстанциию

Проверьте, чтобы у вас не было задолженности за коммунальные услуги, кредиты, налоги, а также неоплаченные штрафы ГИБДД и другие обязательные платежи. По нашему законодательству (закон N 229-ФЗ от 2 октября 2007 г. «Об исполнительном производстве» ) на таких должников могут вынести постановление об ограничении их права на выезд за пределы России, и на границе в таком случае не пустят!

Если вы оплатили долги незадолго до поездки, обязательно возьмите с собой квитанции об оплате, на тот случай, если информация у пограничников не обновилась, тогда вы сможете доказать отсутствие задолженности своим квитанциями

В 2008г нас только русские пограничники и обшмонали, а абхазами ваще всё по фигу было. Да и обратно примерно тоже было.
Там надо быть внимательным, особенно если на своём авто передвигается! ! Вещи в видимости никогда не оставлять.. народ ушлый, срабатывают мгновенно.
А так отдых приятный, море чистое, народа пока не так много как на нашем побережье)