Старая Божедомка называлась из-за дома призрения бедных.

Первый убогий дом Москвы стал и последним. В 1732 году он, уже единственный в городе, был перенесен дальше в Марьину рощу. За него все еще отвечал священник Иоанновской церкви. В 1763 году указом Синода было велено хоронить поступивших туда умерших сразу же, а не дожидаясь традиционных для их погребения дней. А в 1771 году после эпидемии чумы убогий дом был закрыт.
Это печальное заведение, с которого началась история местности, и оставило в московской топонимике имя Божедомка. Появились улицы Старая Божедомка (ныне ул. Дурова) , а в XIX веке – и Новая Божедомка (ныне ул. Достоевского) . Здесь и была устроена московская больница для бедных, позднее названная Мариинской в честь ее основательницы – императрицы Марии Федоровны.
Названа в 1927 году в честь Владимира Леонидовича Дурова (1863—1934) — родоначальника (вместе с братом Анатолием) династии дрессировщиков животных, жившего на улице и открывшего в своем доме живой уголок, названный позже "Уголком Дурова". Первоначально улица называлась Божедомка, затем (с возникновением Новой Божедомки, ныне улица Достоевского) — Старая Божедомка. Полагают, что название происходит от словосочетаний «божий дом» (место, куда свозили, а затем хоронили на ближнем кладбище неопознанных умерших) или «убогий дом» (дом для убогих) , например, церковь Воздвижения Честного Креста, «что на Убогих домах» (XVIII век) .
Незадолго до революции Владимир Леонидович Дуров приобрел на улице Божедомка большой дом, где поместились животные и где он мог проводить с ними психологические опыты и дрессировку, и 8 января 1912 года открыл в своем доме, театр живого уголка, который позже стал называться «Уголок Дурова» . Революционная разруха заставила прекратить работу. Однако новая власть вскоре благосклонно отнеслась к «Уголку» . В 1919 году там же был заново открыт «Уголок имени Дурова» , однако научная работа больше не велась (см. ст. Дуров, Владимир Леонидович) . Через много лет, в 1982 году "Уголок" был преобразован в «Театр зверей имени Дурова» .
Улица Дурова начинается от Суворовской площади, проходит на юго-восток, перекает Делегатскую улицу справа и Самарский переулок слева, затем Олимпийский проспект, Выползов переулок (слева) , Мещанскую улицу (справа) , улицы Щепкина и Гиляровского и выходит на проспект Мира.
И такой она стала... .
