Работу сдать в файле ворда.

неважно, примерно все
лучше докс, он более актуален

Я уже 13 лет пишу тексты, делаю рерайт курсовых и т, д. и всегда сдаю их в формате ДОС.

За все время НИКТО не потребовал пересдать текст в формате ДОСХ

Работаю в ВОРД 2003 - там удобно устанавливать форматы текста и заголовки

Я думаю это необходимо уточнять, у того "гения" который выдвинул такие требования.
Мало того что, "файле ворда" - на самом деле звучит, и выглядит неточно, да и бредово, так еще и действительно не описывает в каком конкретно виде хотят увидеть "работу". Потому что файл ворда - можно назвать любой файл используемый программой из комплекта майкрософт офис, в том числе часть файлов системы ОС виндовс, ну и тому подобное.
Да в каком угодно, наверно. Просто в современных версиях майкрософт офисе, у программы ворд - по умолчанию используется расширение "docx",для сохранения файлов. Но это "формат", а не просто какой то там "файл", какой-то там программы. Тем более в него могут сохранять многие программы, не только word из майкрософт офисе.
А поддерживают многие программы, всякие open office и libre office из бесплатных.

Docx предпочтительнее сейчас. Поддерживают множество редакторов начиная от LibreOffice до китайского King Office. Но ни одна из них не гарантирует, что форматирование файла не "поплывет" при открытии в другой программе. Поэтому, если нет возможности пользоваться Word используй Office Online от Microsoft.

лучше doc, потому что вдруг у принимающего стоит какой-нибудь старый комп со старой виндой? Word древней версии может и не открыть файл типа docx или docm.