Вопрос относительно аспирантуры...

По всем формальным вопросам обращайтесь в отдел аспирантуры того вуза, в который собираетесь. Выбрать другую специальность можно, но как Вы рассчитываете сдавать в таком случае вступительные экзамены по специальности? Содержание вступительных экзаменов в аспирантуру гораздо более серьёзное и сложное, чем тех текущих экзаменов, которые Вы сдавали в вузе. Оно базируется на профессиональных знаниях высшей квалификации, полученных студентом в вузе за 5 (6) лет его обучения. Если собиратетесь на другую специальность (не роственную) , то откуда у Вас эти знания возьмутся?
На бюджет Вы имеете право претендовать, только если были рекомендованы для обучения в аспирантуре ГАК (государственной аттестационной комиссией) после защиты диплома. В этом я не уверена на 100%, это нужно уточнять в конкретном вузе, но в нашем университете, например, это так.
И еще несколько моментов, о которых в отделе асирантуры Вам не скажут. В аспирантуре не учатся (хотя так и принято говорить) , а занимаются научно-исследовательской работой. Для этого нужно иметь способности гораздо бОльшие, и совсем другого характера, чем те, которые связаны с получением пятерок на текущих экзаменах в сессию. Нужно иметь высокий интеллект, аналитическое, креативное мышление, быть не просто отличником, а дейтвительно талантливым человеком. За мою долгую преподавательскую жизнь (более четверти века) из тысяч студентов, прошедших через мои руки, таких талантливых, творческих ребят, мне встретилось только ЧЕТВЕРО. Главное - у Вас должна быть научная идея, которую не Ваш руководитель Вам "подарит", а Вы самостоятельно её должны генерировать, при этом, это должна быть принципиально новая идея, не имеющая аналогов в данной области науки. Это называется научной новизной, и это - главное из многочисленных требований к научной диссертации. Не говорю уж о сложности написания самой диссертационной работы.
Что касается того, что Вам " хотелось бы стать хорошим преподавателем и было бы интересно читать лекции студентам", то "хотеть" и "быть" - это разные вещи. Да, формально ученая степень дает право преподавания в вузе, но на деле.. . Хороший, настоящий преподаватель - это не просто "говорящая голова", озвучивающая учебник, это вообще сложнейшая профессия, чего многие не понимают, видя в ней толькл её внешнюю сторону. Нужно не только знать свой предмет на 200%, но и уметь объяснить его, донести в логичной и понятной форме до слушателей. Нужно формировать собственный, авторский курс, с собственным подходом к предмету. Нужно суметь заинтересовать студентов, заставить их себя слушать, одним словом, не только Вам должно быть "интересно", но в первую очередь интересно должно быть студентам слушать то, что Вы говорите, и интересны им должны быть Вы сама, как личность. Преподаватель, помимо того, что он профессионал - это и оратор, и психолог, и педагог и, если хотите, актер и многое другое На моих глазах к нам на кафедру приходили ретивые "преподаватели", только что "вылупившиеся" кандидаты наук, которым было поначалу очень интересно покрасоваться перед студентами, а после первой же пары лекций они убегали, сломя голову, и увольнялись.. . Советую обо всем этом крепко подумать.