Исправьте синтаксические ошибки. Объясните их характер.

1.Она учится и в колледже, и в автошколе.
Убираем ненужные нагромождения
2. В симпозиуме приняли участие химики, биологи, экологи.
Слово "учёные" лишнее, потому что и так ясно, что химики и т. п. являются учёными.
Можно ещё так: В симпозиуме приняли участие учёные: химики, биологи, экологи.
3. Ребята любят тренера и верят ему.
А то, что верят -- понятно, но непонятно, кого любят.
4. За оставленные в гардеробе вещи администрация ответственности не несёт.
А то получается, что администрация не несёт ответственности только в гардеробе.
5. Находясь в командировке, она получила важное сообщение.
Неправильное употребление деепричастного оборота.
Приводим основное действие (получила) и дополнительное (находясь) в соответствие с подлежащим, выраженным личным местоимением "она" (им. падеж).
6. Мы свернули на дорогу, ведущую в очень живописный парк.
Убираем ненужное повторение (тавтология): "которая" и "который".
7. В доме был камин, давно не разжигавшийся и служивший жильцам полкой.
"Не разжигали" и "служивший" приводим в соответствие друг с другом, чтобы они стали однородными определениями.
8. Командир приказал: "Вперёд, ребята! " (Если хотим оставить прямую речь.)
Командир приказал, чтобы ребята шли вперёд. (Если хотим оставить косвенную речь.)

1.Она УЧИТСЯ не только в колледже, но и в автошколе.
2. В симпозиуме приняли участие химики, биологи, экологи И ДРУГИЕ учёные.
3. Ребята любят ТРЕНЕРА и верят ЕМУ.
4. За ВЕЩИ, оставленные в гардеробе, администрация ответственности не несёт.
5. КОГДА ОНА БЫЛА в командировке, ОНА ПОЛУЧАЛИ важное сообщение.
6. Мы свернули на дорогу, которая вела в ОЧЕНЬ ЖИВОПИСНЫЙ парк .
7. В доме был камин, который УЖЕ давно не разжигали .Он служиЛ жильцам полкой.
8. Командир приказал: "Вперёд, ребята! "

1200 рублёв.

Неправильное построние предложений.
Например: 7. В доме был камин, который давно
не разжигали и служивший жильцам полкой.
Правильно будет так: 7. В доме был камин, который давно
не разжигали - он служивший жильцам полкой (после дефиса идет пояснение к первой части предложения.

Так и с другими предложениями.

5. Будучи
в командировке, ей пришло важное сообщение

Подлежащее - "письмо", сказуемое - "пришло". Получается, письмо не было в командеровке. Не правильно.

1.Она учится не только в колледже, но и в автошколе. 2. В симпозиуме приняли участиеучёные: химики, биологи, экологи. 3. Ребята любят тренера и верят ему. 4. Заоставленные в гардеробе вещи администрация ответственности не несёт. 5. Будучив командировке, она получила важное сообщение. 6. Мы свернули на дорогу, котораявела в очень живописный парк. 7. В доме был камин, давноне разжигавшийся и служивший жильцам полкой. 8. Командир приказал: "Вперёд, ребята! "

Вот второе предложение: химики, биологи, экологи-это и есть ученые. Нужно поставить тире!
Восьмое предложение: здесь нужно поставить в кавычки вперед ребета