Прочее образование

Как начать понимать алгебру с нуля?

ОС
Олег Ситников
21
Нужна экскурсия в XVI век...
x = cbrt(a) есть решение уравнения x^3 = a.
Решением какого уравнения будет x = cbrt(a)+cbrt(b)?
Квадратное уравнение решено древними вавилонянами,
потому пробуем составить кубическое с таким решением:
начать нужно с x^3 = [cbrt(a)+cbrt(b)]^3, после раскрытия
это a + 3cbrt(a)cbrt(a)cbrt(b) + 3cbrt(a)cbrt(b)cbrt(b) + b,
иначе говоря 3cbrt(a)cbrt(b) * [cbrt(a)+cbrt(b)] + (a+b);
в квадратной скобке Икс. Тем самым получилось
x^3 = 3cbrt(ab)*x + (a+b), неполное кубическое
уравнение с решением, известным заранее.
В этом облике можно представить любое
из всех неполных кубических уравнений
x^3 = -p*x - q (хорошие a,b есть всегда!):
условия cbrt(ab) = -p, a+b = -q удается
выполнить одновременно. И вправду,
ab = (-p/3)^3 совмещается с a+b = -q
благодаря теореме Виета: a и b корни
квадратного уравнения t^2-(a+b)*t+ab=0,
то есть t^2 + q*t - (p/3)^3 = 0. Получаем, что
a,b = -q/2 +- sqrt {(q/2)^2+(p/3)^3}, и уравнение
x^3 + p*x + q = 0 решено через коэффициенты :
x = cbrt(a) + cbrt(b), где a,b выражены через p,q.
x = cbrt [-q/2 + sqrt{(q/2)^2+(p/3)^3}] + +
+ + cbrt [-q/2 - sqrt{(q/2)^2+(p/3)^3)}]
есть знаменитая формула Кардано.
Александр Королёв
Александр Королёв
3 313
Лучший ответ
Александр Королёв Трудности с квадратным уравнением...
Тождество (u+-v)^2 = 2u*(u+-v) - (u^2-v^2)
решает ур-е x^2 - 2u*x + (u^2-v^2) = 0,
оказывающееся общим. Всегда
можно записать в таком виде
ур-е x^2 + p*x + q = 0, найдя
хорошие u,v по данным p,q.
Система -2u = p, u^2-v^2 = q
приносит u = -p/2, тогда v^2 =
= u^2-q = (p/2)^2-q, поэтому v =
= sqrt {(p/2)^2-q}, и все сделано:
x(1,2) = u+-v = -p/2+-sqrt{(p/2)^2-q} .
Александр Королёв Решениями какого уравнения будут x = sqrt(a)+-sqrt(b)?
Т.к. ур-я II и III степени решены, испытываем IV степень:
из {sqrt(a)+-sqrt(b)}^2 = (a+b) +-2sqrt(a)sqrt(b) следует
[{sqrt(a)+-sqrt(b)}^2 - (a+b)] ^ 2 = [+-2sqrt(ab)] ^ 2, то есть
{sqrt(a)+-sqrt(b)}^4 - 2(a+b)*{sqrt(a)+-sqrt(b)}^2 + (a+b)^2 = 4ab,
иначе говоря x^4 - 2(a+b)*x^2 + (a-b)^2 = 0. Перед нами решенное
школьное биквадратное уравнение, причем самое общее: в этом
облике можно представить ур-е x^4 + p*x^2 + q = 0 с любыми p и q -
cистема -2(a+b) = p, (a-b)^2 = q относительно a,b всегда разрешима.
a+b = -p/2 и a-b = sqrt(q) приносят a = -p/4+sqrt(q/4), 2b = -p/4-sqrt(q/4).
Бикв. уравнение x^4 + p*x^2 + q = 0 имеет четыре решения:
x(1,2) = sqrt {-p/4+sqrt(q/4)} +- sqrt {-p/4-sqrt(q/4)} и x(3,4) = -x(1,2).
Александр Королёв Леонард Эйлер нашел ур-е IV ст. с решением x = sqrt(a)+sqrt(b)+sqrt(c).
{sqrt(a)+sqrt(b)+sqrt(c)} ^ 2 = (a+b+c) + 2*{sqrt(ab)+sqrt(bc)+sqrt(ca)} , тогда
{sqrt(a)+sqrt(b)+sqrt(c)}^4 - 2(a+b+c)*{sqrt(a)+sqrt(b)+sqrt(c)}^2 + (a+b+c)^2 =
= 4 * [(ab+bc+ca) + 2sqrt(abc)*{sqrt(a)+sqrt(b)+sqrt(c)}] ; получилось ур-е
x^4 - 2(a+b+c)*x^2 - 8sqrt(abc)*x + [(a+b+c)^2 - 4*(ab+bc+ca)] = 0.
В таком облике можно представить любое неполное ур-е IV степени
x^4 + p*x^2 + q*x + r = 0 (при q < 0, что не умаляет общности):
-2(a+b+c) = p, -8*sqrt(abc) = q, -4*(ab+bc+ca) = r - (a+b+c)^2 = r - (p/2)^2
означают, что a+b+c = -p/2, ab+bc+ca = (p/4)^2 - r/4, abc = (q/8)^2,
и можно найти a,b,c как решения кубического ур-я (t-a)(t-b)(t-c) = 0,
то есть t^3 - (a+b+c)*t^2 + (ab+bc+ca)*t - abc = 0
Читай учебник. И ютуб посмотри
Николай Резинкин
Николай Резинкин
37 553
Берете комплект обычных школьных учебников с 6 или 7 (бывает по-разному) класса и до того класса, уровень которого требуется, и начинаете их проходить. Вникаете в параграф, делая конспект, решаете все подряд примеры и задачи, сверяясь с ответами.
Желательно, чтобы учебники были от одного автора, и одного издания.
Любовь Славина
Любовь Славина
32 825
Санаторий Тамга Переизложения внутренне безсвязны(((
Очень помогает такая учебная книга:
Л. Э й л е р - "Введение в алгебру".
Кратчайший курс школьной математики - в поиске по первой ссылке
Айымжан Идрисова
Айымжан Идрисова
7 077
С божьей помощью
Андрей Кисляк
Андрей Кисляк
145

Похожие вопросы