Существует ли мыло не на основе животных или растительных жиров?

Да существует Это мыло на сапонинах

В качестве основы используются растения с высоким содержанием сапонинов – веществ, образующих в воде мыльный раствор с высоким пенообразованием и моющей активностью. В разных регионах растения произрастают разные, но практически в любом месте можно найти подходящее для стирки и мытья.
Способ приготовления довольно прост. Залить сырьё водой – сапонины из растений частично перейдут в раствор. Повышение температуры воды или даже кипячение существенно ускоряет процесс извлечения сапонинов. В получении мыла растительного происхождения есть ещё один маленький нюанс – содержание сапонинов в растительной массе и в растворе выравнивается. Это значит, что если раствор слить, а оставшуюся растительную массу залить новой водой, то в неё также перейдёт некоторое количество сапонинов (правда уже меньше, чем в предыдущую воду) . Так что залив одно и то же сырьё несколько раз водой можно добыть из него почти все содержащиеся сапонины.

Сапонины — это растительные гликозиды, обусловливающие специфические свойства так наз. мыльного корня.
Гликозиды — органические соединения, молекулы которых состоят из двух частей: углеводного (пиранозидного или фуранозидного) остатка и неуглеводного фрагмента (т. н. агликона) . В качестве гликозидов в более общем смысле могут рассматриваться и углеводы, состоящие из двух или более моносахаридных остатков. Преимущественно кристаллические, реже аморфные вещества, хорошо растворимые в воде и спирте.