Почему, мама говорит обидные вещи, а отец игнорит?

ты член семьи с определенными правами (ребенка, дочери) и обязанностями
ты не соседка, а поэтому ОБЯЗАНА принимать посильное участие в семейной жизни (кроме как приготовленное покушать)
в свободное время - отдыхай
представь - допустим подобное отношение к тебе - твоей дочери..., -ты должна будешь кроме холодильника, гардероб организовать (какой никакой) и многое чего, главное - семью иметь
ну и общение необходимо, чтобы разговаривали на одном языке, а не ты на тусовочном жаргоне, а родители на бытовом

правильно мама говорит. А папа не лезет в бабские дела. про свое мнение я обычно дочке отвечаю: когда займешь хоть сколько-нибудь значимое место в обществе, то тогда можешь высказывать свое мнение, только кому угодно, а в нашей семье как я сказал, так и будет!

потому что у Вас пубертатный период-Вы все воспринимаете слишком близко к сердцу. Попробуйте спокойно говорить с родителями. Я-высказывания -слышали? "Мама! Я не люблю слово "шляешься", я гуляю. А это слово у меня ассоциируется со словом "гулящая кошка". Папа! Я чувствую, тебе совсем не интересна. Мне не хватает твоего внимания"

Думаю, пока живёте с родителями, придётся смиряться, лучшие отношения с ними тогда, когда живешь подальше и видишься редко. А так, их дом, их законы, помогайте.
Хотя, что касается кота, то если его заводили не по Вашей инициативе и вам он не нужен, то я понимаю Ваше нежелание копаться в чужом дерьме...

Значит у вас нет взаимопонимания в семье, это не очень хорошо. Главное, что бы со временем, они осознали ошибки, не держи зла на них. У других ещё хуже бывает. Главное, что бы ты осталась хорошим человеком и любящей дочерью. Удачи тебе!