Госпитализация ребенка, может ли папа лечь с ребенком в больницу?

без проблем. и даже больничный получить по уходу

Может. Без документов. Дадут больничный. И даже бабушка может.

Лечь папа может, но больничный ему не положен, поскольку в отпуске по уходу за этим ребенком уже находится мама. И никакие справки о здоровье мамы тоже не помогут. Единственный выход - маме прервать отпуск, выйдя на работу, тогда папа сможет оформить больничный на себя. Но это займет время. Проще папе взять отгулы, отпуск за свой счёт или дни в счёт очередного отпуска.

не думаю, что без справки о недееспособности мамы, папе дадут оплачиваемый больничный на работе. так как мама уже находится в отпуске по уходу за ребенком, раз не работает. но, если принести справку, что мама сама больна, то папе дадут больничный по уходу за ребенком

Может конечно.
При оформлении на госпитализацию потребуется стандартный набор документов-полис и свидетельство о рождении ребенка, паспорт отца.
Больничный соответственно оформится тоже на отца, со дня госпитализации. В приемном покое отцу должны взять бак. анализ (соскоб). Снимаете трусы, раздвигаете ягодицы, и вуаля) Нужно это, чтобы исключить носительство кишечной палочки, и прочую заразу, которая в условиях стационара может вызвать вспышку чего либо. Далее переодеваетесь в сменную одежду, и поступаете в отделение.
При плановой госпитализации вместе с ребенком могут еще спросить про свежую ФЛГ, (давность -не более года ) но могут и не спросить (все зависит от дотошности мед. персонала, хотя по протоколу положено ) . При экстренной госпитализации обычно ничего с родителя не спрашивают.
Уточнять и интересоваться, почему папа, а не мама, никто не будет.

Странно, обычно в таком возрасте мамы не отходят от детей

Да

А вы представьте мужика в палате, где женщины с детьми, если, конечно, не будет отдельной палаты

без разницы кто из родителей будет с ребенком.