можно ли просто зайти и посмотреть слушание дела в районном суде?

Стася, зайти то можно.. . но нет гарантии, что Вам стул достанется....: -))

Можно.

можно, один из принципов судопроизводства-гласность. но, если слушаются дела, когда можно в процессе судебного заседания разгласить государственную тайну, или дела о преступлениях несовершеннолетних, или о преступлениях против половой неприкосновенности граждан-заседание закрытое. Это в уголовном судопроизводстве. Что касается гражданского, то закрытым судебное заседание может быть с целью неразглашения тайны усыновления, сохранения тайны переписки.
И для уголовного судопроизводства с тем, чтобы прийти посмотреть-послушать, требуется достижение 16-летнего возраста

Гласность и открытость судебного заседания - одни из принципов правосудия в РФ. Закрытым УГОЛОВНЫЙ процесс может быть только по делам о половых преступлениях, государственной и коммерческой тайне, личной, семейной, врачебной тайне, в отношении несовершеннолетних.
В остальных случаях лица, не являющиеся участниками дела (свидетелями, потерпевшими, экспертами и т. п. ) могут присутствовать в зале заседания. (По гражданским делам, кажется, ограничения в процессе нет) .
Но почему-то приставы в судах препятствуют этому праву: не пропускают, требуют показать повестку, а при её отсутствии - отказываются впустить. Это незаконно, в принципе, как и требование приставами паспорта при входе в суд.
Но всё же возьмите паспорт и поскандальте с приставами, если Вас не пускают даже в здание суда. А можно пойти на хитрость и сказать, что Вы в канцелярию, на приём к судье и т. п...

Кроме некоторых категорий дел, остальные слушания являются открытыми. Однако по каким-либо причинам судья вправе и запретить находиться в зале заседания.

Да, если дело открытое.

конечно идите и слушайте если оно не закрытое

Законодательство не заприщает присутвие в открытом судебном процессе, но как правило не которым судьям это не нравиться могут и не пустить