Если из прокуратуры пришел отказ в возбуждении уголовного дела по факту нанесения побоев, куда и как обращаться?

Прокуратура собственно и не занимается возбуждением уголовного дела по факту побоев (ст. 116 УК РФ) .
Вы вправе обратится в суд (к мировому судье по месту совершения преступления) в порядке частного обвинения с просьбой привлечь лицо к уголовной ответственности.

Если ст. 116 УК - это дело частного обвинения, т. е. сами должны возбудить дело в суде (см УПК)

По этому поводу следует обратиться с заявлением к мировому судье. Это его подсудность. Прокурор здесь ни причем.

какой мировой суд - городская прокуратура

В вышестоящую прокуратуру или в районный/городской суд.
Если жалобу составляет не компетентный юрист, то рассчитывать на успешное обжалование не следует.

в гражданский суд.
или писать в генпрокуратуру

Игорь Шеин прав.. .
Идешь в юрконсультацию и просишь составить заявленеи в мировой суд о нанесении побоев.. . с этим заявлением в секретариат суда.. . и ждешь начала судебного производства.. .
Однако, хорошо бы иметь свидетелей, готовых подтвердить побои в суде, да и побои должны быть засвидетельствованы в травме.. .
Если все это есть - дерзай!

обжаловать постановление об отказе в возбуждении уголовного дела вы вправе прокурору, вышестоящему прокурору, либо в суд

Если этого козла не привлекут (я узнал что это козел из вашего прошлого вопроса) , то нанесите ему побои -монтажкой по голове и напишите заяву, что пытался вас изнасиловать