Нужно ли какое то разрешение на выезд за границу РФ (Абхазия) для ребенка от отца?

Выехать можно и без согласия, если отец не накладывал запрет на выезд из РФ, а вот въехать в Абхазию...

В Абхазию нужны только ваши личные документы, и все . В св-ве о рождении написано, что вы - мать, более ничего не нужно

На выезд за границу с одним из родителей согласия вообще не требуется.
Согласие одного из родителей требуется только если ребёнок едет с сопровождающим. И только одного.

Из Федерального закона «О порядке выезда из РФ и въезда в РФ» (N 114-ФЗ)
Глава III. Порядок выезда гражданина РоссийскойФедерации из Российской Федерации
Статья 20. Несовершеннолетний гражданин Российской Федерации, как правило, выезжает из Российской Федерации совместно хотя бы с одним из родителей, усыновителей, опекуновили попечителей. В случае, если несовершеннолетний гражданин Российской Федерации выезжает из Российской Федерации без сопровождения, он должен иметь при себе кроме паспорта нотариально оформленное согласие названных лиц навыезд несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации с указанием срока выезда и государства (государств) , которое (которые) он намерен посетить.
Статья 21. В случае, если один из родителей, усыновителей, опекунов или попечителей заявит о своем несогласии на выезд из Российской Федерации несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации, вопрос о возможности его выезда из Российской Федерации разрешается в судебном порядке.
Порядок подачи заявления о несогласии на выезд из Российской Федерации несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации устанавливается уполномоченным федеральным органом исполнительной власти.
Статья 22. Ответственность за жизнь и здоровье несовершеннолетних граждан Российской Федерации, выезжающих из Российской Федерации, защита их прав и законных интересовза пределами территории Российской Федерации возлагаются на родителей, усыновителей, опекунов или попечителей.
При организованном выезде групп несовершеннолетнихграждан Российской Федерации без сопровождения родителей, усыновителей, опекунов или попечителей обязанности законных представителейнесовершеннолетних несут руководители выезжающих групп.
ВНИМАНИЕ: Гражданин, обратившийся в нотариальную контору за оформлением согласия на выезд несовершеннолетнего ребенка за границу РФ, обязан предъявлять оригинал Свидетельства о рождении выезжающего за границу ребенка.
Внимание 2: Правильно говорить «согласие на выезд несовершеннолетнего ребенка» , а не «доверенность на выезд ребенка» , «доверенность на вывоз ребенка» .

Образец согласия на выезд ребенка.
Перечень необходимых документов:
— паспорт
— свидетельство о рождении ребенка
— сведения о сроках выезда, стране (странах) , которые он намерен посетить, фамилия, имя, отчество сопровождающего лица.
— если у одного из родителей менялась фамилия — свидетельство о заключении брака

В свидетельстве о рождении где отец прочерк?

Какое тогда разрешение требуется? если вы единственный родитель...