Что такое Базы данных?На каких языках пишутся и где применяются?

База данных - это определенным образом упорядоченная информация.
Сейчас используются реляционные базы данных.
БД сама по себе - это лишь скопление файлов в которых определенным образом упорядочены данные.

А вот чтобы это все работало, нужна СУБД (система управления базами данных) . Это средство позволяющее адекватно отображать и просматривать данные в БД. СУБД огромное множество. Начиная от ACCESS, заканчивая Oracle.

Основная задача БД - это структуризация информации для ее быстрого поиска.

Как правило БД - это лишь часть программного комплекса. Она расположена на сервере.
И Она НЕ ПИШЕТСЯ, так как это лишь определенным образом упорядоченные данные. В нее заносятся данные через интерфейс СУБД или через SQL-запросы.
А вот уже клиент, тоесть та часть, которая формирует эти SQL запросы, посредством предоставления пользователю интерфейса связи реализуется на любом из языков программирования.
Это может быть как WEB интерфейс (PHP+СУБД MySQL)
Может быть и Delphi. Тут вариантов масса.

пишутся базы на ФоксПро, например

БД-это такие программы, которые позволяют хранить данные по определённым правилам. Пишутся они на разных языках. Например Oracle написана на java,а MSSQL Server на С++.Применяются БД конечно же для хранения данных. Причём это могут быть как данные о сотрудниках или товарах предприятия, так и вычислительная программа может использовать для хранения своих промежуточных результатов БД. Практически большинство языков программирования предлагают средства для работы с БД.

В ACCESS и SQL пишутся.
Широко применяются в современном офисе и ЦОД.