Можно ли сменить свой IP адрес? Это вообще реально?

Если админ рабочей сети все сделал правильно, то изменить адрес можно, но бесполезно.
На шлюзе делается привязка адреса к МАС (в идеале - для каждого из рабочих компов) . И далее пропускают во внешний мир только определенные адреса или даже на определенные порты. Можно вручную (если есть права администратора на локальной машине) настроить сетевую на чужой адрес (для которого доступ в мир открыт) и МАС. Тогда в отсутствие легального владельца адреса машина выйдет в интернет. Но при включении легального компа обоим придет сообщение, что такой IP уже используется.

Внутренний или внешний адрес?
В принципе реально оба.

Если динамический - то сам изменится со временем. Можночерез анонимайзеры ходить. Вот только зачем?

сменить нет скрыть можно

Если он статический и выдан провайдером, то надо идти к ниму.
Если он у вас динамический - то он и так меняется постоянно, с модемами не работал вообще без понятия как он устроен.

Смотря для чего вам. например есть отличный браузер Tor. Через него ваш сигнал перенаправляют через пять шесть серверов во всем мире, можно хоть ФСБ послать, и вас не найдут.

Вы можете настроить мак адресса, это будет еще круче. тем самым вы привяжете конкретное устройство на железном уровне.

Проще всего просто настроить маску на то кол-во машин что вам надо и поставить пароль на вай фай и все.

Прокси юзаем!

Перезагрузить модем.