IP как Роутер (маршрутизатор)

192.162.1.100, и подобные, это локальный ип. В интернете он будет другой

ДЛя тех кто снаружи от вашего рутера, вас видят только по Айпи данному вам вашим провайдером. Внутренние адреса таковыми и остаются внутри вашей внутренней сети.

в вопросе какая-то каша
нет, роутер - это не локальная сеть, а винтовка - это не праздник, что бы там летов ни пел
роутер - это физическая коробка, локальная сеть - более абстрактное понятие
если бы было сформулировано корректнее, можно было бы ответить и "да"

выйти в интернет (в моём понимании этого термина) с серого ip можно, хотя бы потому, что серые адреса сейчас практически у всех, но интернет обезлюдевшим не выглядит

далее, у роутера необязательно статический ip
если у тебя он должен быть по договору с провайдером, он будет статическим, но в вопросе это не оговорено

да, 192.168.*.* - это диапазон адресов локальной сети, которые обычно потребительские роутеры присваивают подключающимся устройствам по умолчанию

теперь как происходит процесс выдачи адреса роутеру
роутер включается, видит, что в него воткнут проводок, ведущий к провайдеру, стучится по этому проводку и просит выдать ему ip адрес
провайдер отвечает "вот тебе адрес, будешь слать всякие штуки в интернет - указывай его в качестве обратного, а то ответа не получишь"
если ты платил за белый ip, этот адрес будет совпадать с тем, что выдают всякие веб-сервисы типа 2ip, если нет и у тебя серый, то это будет внутренний адрес в сети провайдера (у меня, например, вида 10.*.*.*), а 2ip будет показывать адрес оборудования провайдера, через которое сидит куча абонентов примерно по такому же принципу, как у тебя к роутеру подключена куча девайсов

как это называется "192.162.1.3" ip внутри роутера или как?
это называется адрес за nat'ом, адрес из локальной подсети, локальный адрес, серый адрес